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整数の問題（高１）
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まずは（１）だけ・・・ ４桁の整数を、a・10^3＋b・10^2＋c・10＋dとします。・・・（あ） また、a＋b＋c＋d＝9N（各位の数の和が９の倍数であるから）・・・（い） （い）を変形します。 e＝9Nーaーbーc ・・・(う） （う）を（あ）に代入すると、 a(10^3-1)＋b(10^2-1)＋c(10-1)＋9N＝999a＋99b＋9c＋9N ＝9(111a＋11b＋c＋N) ・・・（え） （え）は９の倍数となる。//
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- Alicelove
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続いて（３）・・・ 連続した整数を、2n-1、2n＋1、2n＋3とおく。 (2n-1)^2＋(2n＋1)^2＋(2n＋3)^2＋1 ＝4n^2＋4n＋1＋4n^2＋4n＋1＋4n^2＋12n＋9＋1 ＝12n^2＋12n＋12 ＝12(n^2＋n＋1) ＝12｛n(n＋1)＋1｝・・・（あ） ここで、n(n＋1)は隣り合った整数の積となるので偶数 よって、n(n＋1)＋1は、奇数となる。 ゆえに、（あ）は１２の倍数であるが、奇数との積により、２４の倍数ではない。
お礼
回答ありがとうございます。
- oshiete_goo
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No.2訂正 (2)は n(5n^2+6n+1)=5(n^3-n)+6n^2+6n=... でした.
お礼
回答ありがとうございます。
- oshiete_goo
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ヒント (2)n(5n^2+6n+1)=5(n^3-1)+6n^2+6n=5(n-1)n(n+1)+6n(n+1) 3連続整数は6で割り切れる(できれば証明を)ので... (3)連続した３つの奇数を2n-1, 2n+1, 2n+3(計算が楽なようにです)とおいて平方の和+1をつくると 12{n(n+1)+1}となって,n(n+1)+1 は偶数+1より奇数なので...
お礼
早急のご回答、ありがとうございます。
- westpoint
- ベストアンサー率35% (173/482)
(1)です。 a+b+c+d=9n 1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+9n よって9の倍数です。
お礼
わかりました。ありがとうございます。
補足
(3)番が特にわかりません。
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回答ありがとうございました