速度空間内のフェルミ分布関数式について

質問

ゾーマンフェルトの電気伝導理論についてですけど、フェルミ分布関数式を用いると、速度空間内のｆ0は、ｆ0＝２（ｍ/２πｈ'）＾３・ｆ（E)となるのですけど、２（ｍ/２πｈ'）＾３が
なんなのかわかりません。説明不足ですけどわかる人いれば、教えてください。
あと、ｆ0は何かもお願いします。ｆ0：規格化、（ｈ’＝ｈ/２π）
このｆ0はσの式にいれて電気伝導度を求めます。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

質問者の疑問点に対するアドバイス

その前に訂正(今晩はちゃんと寝られそうです)
正）体積要素dp=d^3p=dp_x*dp_y*dp_z=m^3*dv^3=m^3*dv_x*dv_y*dv_z=m^3*d^3v
正）n=2(m/h)^3∫d^3v[exp{(ε-μ)/kT} +1]^(-1)
"d^3p=d^3(p)です"

さて，本題．
f0の定義は見ていないので知りませんが，実はf0=nで，nは前述のように
「Fermi分布での伝導電子数」です．但し，物質の単位体積当たりであろうと思われます（電気伝導度は示量性でなく示強性[体積・質量に比例しない]の量として定義されているのでは？）．

式中の"n"は電子数そのもので, 速度空間での積分に書き換えると係数
2(m/h)^3も含めてf0に一致することは既述の通りです．

"規格化"＝normalization は話により「単位体積当たり１個」とか，「体積Ｖ当たり...個」などといった適当な量当たりで表したもので，その話によって違いますので，その話題で用いられている規格化条件を確認しておいた方がよいでしょう．

”ｆ0：規格化”と言うのは，多分今の話では”f0”は既に規格化された形だという意味と思われます．
以上，間違いだらけでお粗末でした．もっと確かな人に「ここは...ということでいいんですか」と訊いておいたほうがよいかも知れません．

回答No.5

siegmund

前後関係がわからないので確かなことは言えませんが
質問にどうも誤解があるような気がします．

まず，フェルミ分布関数は，ある状態が占有される確率を表すものです．
化学ポテンシャルμが与えられたとして，
この確率はエネルギーεのみに依存します．
oshiete_goo さんが
(1)　　[exp^{(ε-μ)/kT} +1]^(-1)
と書かれているとおりです．
したがって，(1)は単なる無次元量です．
もし，速度で表現しようとすればεを速度で表すだけです．
（ｍ/２πｈ'）＾３ のような次元のある量がついては確率にはなりません．

この種の計算でフェルミ分布関数と共によく現れる量に状態密度があります．
状態密度 D(ε)は ε～ε+dε の間の状態数が D(ε) dε であるとして
定義されます．
したがって，状態密度の方は，
速度の大きさが v～v+dv にある状態数をZ(v)dv と書くことにして，
D(ε)のεを v で書き換えただけでは Z(v) になりません．
dεと dv の間を変換しないといけないからです．

質問内容はここら辺の話を混同しているのではないかという印象を受けます．

分布関数と状態密度の関係については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=272514
で Umada さんが明解な解説をされておられますので，ご参照下さい．

回答No.3

oshiete_goo

訂正
やっとわかりました.
正)n=(2/h^3)∫dp[exp{(ε-μ)/kT} +1]^(-1)
の式で, 積分変数は運動量p=(mv_x,mv_y,mv_z)であり,
体積要素dp=dp^3=dp_x*dp_y*dp_z=m^3*dv^3=m^3*dv_x*dv_y*dv_z
の略記なので, ちゃんとm^3も合っていますね.
書き換えれば
n=2(m/h)^3∫dv^3[exp{(ε-μ)/kT} +1]^(-1)
で質問者の式と一致しています.
解釈はm^3の部分は上の理由で, (2/h^3)の部分はNo.1のとおりではないでしょうか.
(世界一愚かなgooより)

補足

ありがとうございました。もう少しお聞きしたいのですが、ｎっていうのは状態密度
なんですよね？ｎをどのようにしたらｆ0＝２（ｍ/２πｈ'）＾３・ｆ（E)ってなるの
ですか？あと規格化って意味も教えてください。おねがいします。

回答No.2

oshiete_goo

No.1の訂正
式が明らかに間違っていました
正)n=(2/h^3)∫dp[exp^{(ε-μ)/kT} +1]^(-1)

ついでなので補足ですが, 先ほどmが(筆者は)合わないと書きましたが, 上式の積分変数はpなので, 1つはmを含んでいるわけで, それでもまだ合わないという意味です. (質問者は速度空間で話をしているようなので.)

回答No.1

oshiete_goo

当方は非専門にて，その点を考慮してお読みください．

Fermi分布での伝導電子数nは
n=(2/h^3)∫dp[exp{-(ε-μ)/kT} +1]^(-1)
但しε=p^2/2m^* で m^* は伝導帯電子の実効質量
(久保亮五「熱学・統計力学」第8章p.345[今の版では変わっているかも])

などと書かれますが，係数 (2/h^3) が問題で，(h^3＝(2πｈ')^3の体積当たり１個)×(スピンの自由度２)を考慮してこうなるものと筆者は理解していますが，
ご質問の係数だと，"2"と1/h^3 は合うのですが，ｍ^3 はどうも理解できません．
そもそもf0は無次元量ではないようですね．