ラグランジュの未定乗数法について

質問

ラグランジュの未定乗数法について
その概要と具体的な計算例を教えてください。

回答No.2

siegmund

stomachman さんが一般論を書かれていますので，
めちゃくちゃ易しい例題を蛇足につけましょう．

例題
x + y = a　　　　　　　　　　(1)
の条件の下で
f(x,y) = (x^2 + y^2)/2　　　 (2)
の極値を求めよ．

(1)から y = a - x として(2)に代入すれば，
x の２次関数ですから x = a/2 で極値をとるのはただちにわかります．

ラグランジュ未定係数法でやるなら，stomachman さんの式にしたがって，
f の代わりに
g(x,y,λ) = (x^2 + y^2)/2 + λ(x+y-a)
を考えます．λと掛け算になっている x + y - a が(1)の変形です．
(1)から，λ(x+y-a) = 0 ですから，f の極値も g の極値も同じことです．
２変数関数の極値だと言うんだから， 偏微分して
∂g/∂x = x + λ = 0　　　　(3)
∂g/∂y = y + λ = 0　　　　(4)
で，(1)(3)(4)を連立方程式として解けば，
簡単に x = y = a/2 が得られます．
直接解いたのと同じ結果ですね．

え？ 直接解く方が簡単？
そりゃ，(1)から簡単に変数１個消去できたからで，
(1)が面倒な式だったり，変数が沢山，条件式も沢山，だったら
簡単には行きませんよ．

もっと深刻なのは，原理的に消去困難な場合もあることです．
stomachman さんが書かれているように，等周問題が有名な例です．
xy 平面上の閉曲線 f(x,y) = 0 があって，
条件として１周の長さを指定する．
囲む面積が最大になるのはどんな f(x,y) か？
答が円なのは直感的にわかりますが，
ちゃんと示すのはそれなりに大変です．
どんな関数か，と聞いているんだから，変分法の問題です．
細かいことは別にして，囲む面積なんだから
【f(x,y) から面積を求める積分】　　　　　　(5)
を一番小さくなるようにする．
条件は
【f(x,y) から周長を求める積分】＝ 一定 　　(6)
ですね．
(6)から，何か「消去」できますか？
f(x,y) はわかっていない(これから求めようとしている)のですから，
(6)の積分だってわかりません．
つまり，お手上げ．

こういうときがラグランジュ未定係数法の出番です．