情報数学の証明

質問

試験勉強として、近代科学社から出版されている教科書の
章末演習問題をやっているのですが、
証明問題は略解も省略されていて、解答できない問題があります。

その１
　ある集合Ｓ上の同値関係Ｒによって生成される同値類[a]と同値類[b]において、
いかが成り立つことを示せ。
・aが[b]の要素でないa（aは[a]の要素）が存在することと、
[a]かつ[b]＝（空集合）が成り立つことは同値である。

その２
　Ｑを有理数全体とし、Ｋ＝｛a+b√２ | a,bはＱの要素｝において、
和＋　積 X を定義すると、(K;+,X)は、
実数体(R;+,X)の部分体であることを証明せよ。

という２問の証明ついて誰か教えてください。

　他の演習問題も同じようなやり方で解けるものがあると思うもですが、
証明の仕方の例すらないので、まったくどうアプローチしていいかわかりません。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

どちらも、用語の意味を理解していれば自明と言える問題です。問題が解けないという以前に、まず概念の理解をしなくては駄目ですね。教科書の定義をよく読み返してみれば、簡単にできるはずなんですが....

その１
　ある集合Ｓ上の同値関係Ｒによって生成される同値類[a]と同値類[b]において、
いかが成り立つことを示せ。
・aが[b]の要素でないa（aは[a]の要素）が存在することと、
[a]かつ[b]＝（空集合）が成り立つことは同値である。

同値類とは同値関係で結ばれたもの同士でRを分類して作った部分集合のことです。以下読みやすいようにRの代わりに～を使います。
同値関係～とは、p～q⇒q～p（反射律), p～q ∧ q～r ⇒ p～r（推移律）が成り立つ２項関係のこと。[a]とはx～aであるようなxの集合という意味です。
十分性：　[a]かつ[b]＝（空集合）が成り立つ：すなわち、[a]∩[b]=φ言い換えれば∀x;￢(x∈[a]∧x∈[b])が成り立つとします。つまりx∈[a]であり同時に x∈[b]であるようなxは存在しない。一方、a∈[a]ですから、x∈[a]であるようなxは存在する（x=aとすれば良い。）従って、∃x; x∈[a]である。以上から、∃x; (x∈[a]∧￢(x∈[a]∧x∈[b]))ゆえに、∃x; (x∈[a]∧￢x∈[b])となります。x=aとおけば、a∈[a]∧￢a∈[b]ですね。
必要性：　 x∈[a]となるxが存在することは自明です。どのx∈[a]も[b]にも含まれるとします。∀x: x∈[a] ∧ x∈[b]。同値類の定義から、x～aかつx～bであり、従ってa～b。ゆえに[a]=[b]ということになる。[a]は空集合ではないから、[a]∩[a] は空集合でない。
これで命題の同値性が証明されました。

その２
　Ｑを有理数全体とし、Ｋ＝｛a+b√２ | a,bはＱの要素｝において、
和＋　積 X を定義すると、(K;+,X)は、
実数体(R;+,X)の部分体であることを証明せよ。

体というのは、+と×について閉じていて、+に関する逆元が存在し、また零元を除くどの元についても×に関する逆元が存在するもの。K⊂Rは自明ですから、あとはKが体であることを証明すればいいんです。
単位元1∈K、零元0∈K、そしてa+b√２の+に関する逆元は-a-b√２∈K。×に関する逆元は1/(a+b√２) = (a-b√２)/(a^2-2b^２)=a/(a^2-2b^２) - {b/(a^2-2b^２)}√２∈K。あと、足し算とかけ算について閉じている(x∈K∧y∈K ならば x+y∈K, x×y∈K）を証明するのはご自分で。
これでおしまいです。

なお、^２は二乗、￢は否定、∧は「かつ」の意味です。念のため。

回答No.4

stomachman

訂正します。最初の回答の中で、

> 同値類とは同値関係で結ばれたもの同士でRを分類して作った部分集合

という記載がありますが、これは「同値類とは同値関係で結ばれたもの同士でＳを分類して作った部分集合」の間違いです。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました。
教科書よりわかりやすかったです^^

回答No.3

stomachman

自明だとは思いますが、一応念のため補足しておきます。
　その2において、a+b√2≠0の場合に×に関する逆元を作る際に、分母(a^2-2b^2)がゼロになることはない、というのはa,bが有理数であることから証明されます。
　もしa^2=2b^2となる0でない有理数a,bが存在するのなら、a=√2 b、従って、√2=a/bとなり、√2が有理数である、ということになってしまうからですね。

回答No.2

stomachman

ちょっと書き間違いをしました。
> どのx∈[a]も[b]にも含まれるとします。∀x: x∈[a] ∧ x∈[b]。
のところは、∀x: (x∈[a] → x∈[b])が正解です。