論理学の問題

質問

いつも鋭い解説ありがとうございます。

論理学の基本的な問題を解いています。ここではＰに対して、Ｐではないを（Ｐ）と表すとします（線引き表示の方法がわからないのですいません）。

一度べん図などの作図による理解をした後は、ある程度パターン化して解くことも可能だと書いてある本があり、次のような例題の場合はそれが当てはまるようです。

例題
　次の命題から確実に言えるのは５つの選択肢のうちどれか。
　・物理が好きな人は数学と国語が好きである。
　・英語が好きな人は国語も好きである。
　・物理が好きでない人は化学も好きでない。

１　化学が好きな人は国語も好きである。
２　国語が好きな人は物理も好きである。
３　英語が好きな人は化学も好きである。
４　物理が好きでない人は国語も好きでない。
５　化学が好きでない人は数学も好きでない。

物理好きを「物」とすると
一つ目の命題から　物理⇒数学　（数学）⇒（物理）
　　　　　　　　　物理⇒国語　（国語）⇒（物理）
二つ目の命題から　英語⇒国語　（国語）⇒（英語）
三つ目の命題から　（物理）⇒（化学）　化学⇒物理

選択肢は１化学⇒国語　２国語⇒物理　３英語⇒化学　
４（物理）⇒（化学）　５（化学）⇒（数学）

このような問題だと１が正解とすぐに分かります。複雑な作図を要する場合にはより早く解ける場合が多いようです。しかし、次のような問題の場合、このような方法で解こうとすると引っかかり、逆にべん図だとすぐに解けます。上の方法で続けて解いてきて下の問題に当たると一瞬戸惑うのですが、上の方法で解く方法はないのでしょうか。あるいはあっても逆に煩雑となるのでしょうか。

問題
　数学、物理、国語、英語の試験について次のことが分かっているとき、選択肢１～６から正しいものを選べ。

・すべての科目で合格者と不合格者がいた。
・数学の合格者は物理に合格した。
・国語の合格者は英語に合格した。　
・数学の不合格者は国語に合格した。

１　英語の不合格者は物理に合格した。
２　物理の不合格者は英語に合格した。
３　物理・国語ともに合格し英語に不合格であったものはいない。
４　物理に合格した者は数学に合格した。
５　合格した科目が三科目以上の者がいる。
６　合格した科目が二科目以上の者がいる。

命題から
数学⇒物理　（物理）⇒（数学）
国語⇒英語　（英語）⇒（国語）
（数学）⇒国語　（国語）⇒数学

選択肢は
１　（英語）⇒物理　（物理）⇒英語
２　（物理）⇒英語　（英語）⇒物理
３　物理∧国語⇒英語　（英語）⇒（物理∧英語）＝（物理）∨（英語）
４　物理⇒数学　（数学）⇒（物理）
５、６は文字では表し難い

１、２が正しく、４は誤りで３、５、６は判然としないといった感じになります。今まで上の文字での解法に慣れてしまっていたので、やはり作図も必要なのかなと戸惑っています。選択肢３の∨を分解できないことと、４、５が文字で表せないことを見て、作図で解く判断をすぐできるようになる必要があるのかと思っています。長文で変な質問ですいませんが、より短時間で解くなにかいい方法がありましたら教えて下さい。（本来はテクニックばかりではいけないとも思うのですが。）

回答No.1

mis_take · ベストアンサー

あなたの書き方では
・すべての科目で合格者と不合格者がいた。
を表すことができません。

S(x) ≡ xは数学に合格した
B(x) ≡ xは物理に合格した
K(x) ≡ xは国語に合格した
E(x) ≡ xは英語に合格した
とします。また
「すべてのxについて～」を「∀x～」
「あるxについて～」を「∃x～」
と書きます。

すべての科目で合格者と不合格者がいた ≡ ∃xS(x)∧∃x￢S(x)∧∃xB(x)∧∃x￢B(x)∧…
数学の合格者は物理に合格した ≡ ∀x(S(x)→B(x))
:
:
３科目以上合格したものがいる ≡ ∃x(S(x)∧B(x)∧K(x))∨∃x(S(x)∧B(x)∧E(x))∨…
となります。
（３科目以上合格したものがいる ≡ ∃x(S(x)∧B(x)∧K(x))∨∃y(S(y)∧B(y)∧E(y))∨…
と異なる文字を使ったほうがわかりやすいです。）

ところで
> １、２が正しく、４は誤りで３、５、６は判然としない
ではなく
1,2,3,6 は正しい
4,5 は正しいとは言えない，間違いともいえない
です。

お礼

ありがとうございました。そのような記号を使えばいいのですね。

＞1,2,3,6 は正しい
4,5 は正しいとは言えない，間違いともいえない

その通りですね。

回答No.2

y_akkie

＞１、２が正しく、４は誤りで３、５、６は判然としないといった感じにな＞ります。今まで上の文字での解法に慣れてしまっていたので、やはり作図＞も必要なのかなと戸惑っています。

あまり、図や記号などに捕われずに文章を読んで判断できる箇所は多々あります。３、６に関しては、文章から判断して十分に解けます。

３については、国語の合格者は英語に合格したという事から、国語・物理が合格で英語が不合格のケースは矛盾するので有り得ません。よって、これは正しい事が分かりますね。後、６の場合についても、数学の合格者は物理に合格した、国語の合格者は英語に合格したなどからも明らかなように、数学・物理に合格しているものがいる事や、国語・英語に合格しているものがいる事などから、確かに２科目以上合格している者がいると言えるので、
これは正しいです。これらは問題文に記載された条件から直ぐに分かります。この辺はベンズや記号などで考えるよりも、文章から判断した方が早いと思います。
残りの１、２、４、５については、問題文の条件を論理式で表せば解く事ができます。ただ、効率の良い解法としては、

数学⇒物理　（物理）⇒（数学）
国語⇒英語　（英語）⇒（国語）
（数学）⇒国語　（国語）⇒数学

これらの関係を以下のように一つの⇒でつないだほうが見通しが良い論理式になります。

(英語)⇒(国語)⇒数学⇒ 物理
(物理)⇒(数学)⇒国語⇒ 英語

このようにしておけば、以下のような事柄が直ぐにわかります。

英語の不合格者：英語(不合格)　国語(不合格),数学(合格),物理(合格)
英語の合格者　：英語（合格）　国語（？）、数学（？）、物理（？）
国語の不合格者：英語(?)、国語（不合格）、数学(合格),物理(合格)
国語の合格者　：英語（合格）、国語（合格）、数学（？）、物理（？）
物理の不合格者：数学(不合格),国語(合格),英語(合格)、物理（不合格）
物理の合格者　：英語（？）数学（？）　国語(?)、物理（合格）
数学の不合格者：物理(?)　国語(合格),英語(合格)
数学の合格者　：物理（合格）、国語（？）、英語（？）

この表を見れば、１、２が正しい事が分かります。
３については判定不能である事も分かります。最後に５については、
どのようなケースに対しても確実に三科目以上の合格者がいると言えないので、判定不能になります。

お礼

落ち着いて考えると意味を理解して解くことが分かりました。なるほど確かにそうですね。試験時間などのプレッシャーもあり、ルーティンで解いていくテクニックがあればなあなどと考えてしまうのは邪道かもしれませんね。