sinaiのビリヤードとは？

質問

sinaiのビリヤードとはどのような話なのでしょうか
統計力学の話だと思って統計力学で調べたんですが、私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
よろしくお願いします

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

ご推測の通り，統計力学の話で
エルゴード問題に関連したことです．

長方形領域の中に障壁を置いておきます．
障壁は凸であるという条件がついています．
障壁の数は１個でなくてもっとあっても良かったような気がしますが
そこはちょっと自信がありません．
で，１個の質点が長方形の壁と障壁の間を完全弾性反射しながら
動くというものです．
もちろん，空気抵抗や転がり抵抗の類は一切ないものとしています．
まさに，理想的ビリヤードですね．
そうすると，質点の速度の大きさは変化しませんから，
質点の位置と速度の方向のみが変数になります．
すなわち，統計力学の相空間は位置と速度の方向で記述されます．
この相空間での質点の運動がエルゴード的であることを
Sinai が示したので，Sinai のビリヤード問題と言われています．

位相空間での運動がエルゴード的とは，
荒く言えば，位相空間での軌道が位相空間を満遍なく埋め尽くす
ということを言います．
もっとくだいて言えば，同じところばかり行ったり来たりして，
行かないところ(あるいは，滅多に行かないところ)があってはダメ
ということです．

他にもエルゴード性が示されているビリヤードがあったと思いますが
今はちょっと思い出せません．

お礼

「え？そんなことだったの？」
という感じです
私が当然のように知っていた話だったんですね
sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから、「そんなもの存在しないのでは？」なんて思ってたぐらいなんです
ありがとうございました

回答No.3

siegmund

> スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、
> エルゴード性が示されていたと思います．

ぎくっ，また背中に冷や汗がたら～....(^^;)

はい，スタジアム型でした．
どうも，恐れ入りましたね．
学会出たときのメモなど引っ張り出してちょっと調べたら，
円や楕円ではエルゴード的にならないらしいです．

最近の微細加工技術の急速発展は驚くべきもので，
ちょっとぼんやりしていると
「え，そんなことできるの？とても信じられん」
になります．

> 私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
> よろしくお願いします

> sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから

こういうの好きだな～．
そこらへんの本見ればすぐわかるようなのは，どうも力が入らん．
いや，もちろん私が答えられることなんて，
たかが知れていますが．

エルゴード理論関係のことは，
普通の統計力学のテキストには余り載っていません．
もちろん基礎論として大事なんですが，
テキストの他の部分(例えば，量子統計，相転移，ブラウン運動，線型応答)
などと比べると，非常に異質な感じになってしまうからでしょうか．
量子力学のテキストに観測の問題が余り載っていないのと，
感じは似ていますね．

お礼

いきなり回答を締め切らなくてよかったです
大事な話なのに本に載せないってのはちょっと問題ありですね

回答No.2

stomachman

蛇足です。
スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、エルゴード性が示されていたと思います。結晶表面にこの形の障壁を作り、電子波を泳がせた実験もなされていたんじゃなかったっけか。

「エルゴード仮説」って、なんだか怪しげで実に良いですね。