小学生の算数の問題 パスカルの三角形

質問

現在高一で数学を勉強している者です。
さっき、小学生の弟に算数の教科書の問題について質問されました。
問題は、

パスカルの三角形において、段が一段増えると横一列の数の和は前段の２倍になる。このことを証明しなさい。

私の考えでは、
段数をn、その段の横一列の数の和をxとおくと(例：n=1のとき、x=1)xを次式で表せれるところまで気づきました。
x=(n-1)^2

しかし、この先どうのようにして証明すればいいのかわかりません。
どうか皆さん力をお貸しください。兄としての威厳もかかっており、とけなかったらかなり恥ずかしいです。
よろしくお願いします。

回答No.5

Ishiwara · ベストアンサー

式など使う必要はありません。
どの段でも「前の段の数が２つずつ入っている」ことを知れば直観的に理解できます。
数学では、こうした直観力を養うことが必要です。図を使って弟さんがひらめくまで導いてあげましょう。ひらめいたら褒めてあげましょう。
あまり式を振り回すと、弟さんが数学嫌いになりますよ。

回答No.4

y_akkie

まず、パスカルの数の規則について見てみると、
前段において、仮に、○、△、□、×と並んでいる場合、
その段では、○、（○＋△）、（△＋□）、（□＋×）、×といった形で
数字が並んでいます。
そして、前段の和は○＋△＋□＋×の和になり、
その段では、○＋（○＋△）＋（△＋□）＋（□＋×）＋×となり、
この式を整理すると、（○＋△＋□＋×）＋（○＋△＋□＋×）になります。よって、前段の和の２つ分になるわけだから、その段の和は前段の和の２倍になります。小学生なので、文字などをあまり使わず、図形の記号を使って説明した方が良いでしょう。また、これで弟さんが納得がいかない場合は図形の記号を増やして同じように説明し、このような規則性がある事を理解させるような説明の仕方が一番だと思います。

回答No.3

lick6

小学生で証明っていうのはあまり聴いたことないのでどのへんまで言えばいいのかわかりませんが、
「各段の両端は必ず 1 であり、左から2番目は前の段の 1 と左から2番目の和、3番目は前の段の2番目と3番目の和、・・・、右から3番目は右から2番目と3番目の和、右から2番目は前の段の 1 と右から2番目の和、だからある段の左から2番目～右から2番目までの数の和は 左から2番目～右から2番目までの数の和を2倍したものに両端の +1+1 を加えてやったもの。ある段の和はそれにさらに両端の +1+1 を加えてやるので結果として前の段の数の和の2倍になる 」
このくらいが文字使わない限界かなぁ。

回答No.2

zk43

小学生に説明というのは難しいですね。
おそらく私が小学生だったらわからないと思います。
そもそもパスカルの三角形なんて知ったのは、中学の終わりごろか
高校生になってからだったと思います。

とりあえず、あなたは、二項係数の記号nCr（n個のものからr個を選ぶ
組み合わせの総数）を知っているものとします。

ちょっと面倒なので、パスカルの三角形の一番上を０段目ということに
します。

まず、二項展開、
(1+x)^n=nC0+nC1x^1+nC2x^2+・・・+nCnx^n
(1+x)^(n+1)=n+1C0+(n+1C1)x+(n+1C2x^2)+・・・+(n+1Cn+1)x^n+1
においてx=1とすると、
2^n=nC0+nC1+nC2+・・・+nCn
2^(n+1)=n+1C0+(n+1C1)+・・・+(n+1Cn+1)
上の式はn段目の和、下の式はn+1段目の和なので、1段下がると和が
2倍になります。
しかし、これは小学生には無理でしょう。（むしろあなた向け）

パスカルの三角形において、端っこでない数は、一段上の左斜め上と、
右斜め上の数の和になっていることは知ってますか？
記号で書くと、nCr=(n-1Cr-1)+(n-1Cr)(r=1,2,…,n-1)
式変形で説明するのは無理でしょうから、意味を考えると、
n個の中からr個を選ぶというのは、n個を1,2,…,nと番号を
つけると、1を選ぶか、選ばないかに分けて考えることができます。
1を選ぶ場合、残りのn-1個の中からあとr-1個を選ぶということで
n-1Cr-1通り
1を選ばない場合、残りのn-1個の中からr個を選ぶということで
n-1Cr通り
よって、nCr=(n-1Cr-1)+(n-1Cr)
つまり、n段目の端っこでない数の和は、n-1段目の端っこでない数を
２回、端っこの数を１回足すことによって得られる。
（パスカルの三角形で和になるところを線で結んで考えてみてくださ
い）
n段目の端っこの数は、n-1段目の端っこの数と同じ。
よって、n段目の数の和は、n-1段目の数を２回足すことによって得ら
れる。すなわち、n段目の数の和は、n-1段目の数の2倍

組み合わせの意味とか分からなくても、パスカルの三角形の和の構造を
図で考えればわかるかと思います。
（ここでは図が描けないので、なかなか説明しずらい。）

回答No.1

age_momo

小学生相手ですからあまり文字たっぷりで証明というのはダメでしょうね。次の様に説明してみましょう。

パスカルの三角形は上の段の両斜め上の数字の足し算です。
例えば3段目は

１，３，３，１

この合計計算は

１＋３＋３＋１＝８

で次の段は

１，１＋３，３＋３，３＋１，１

合計計算は

1+（1+３）＋（３＋３）＋（３＋１）＋１
＝（1+1）＋（３＋３）＋（３＋３）＋（１＋１）
＝１６

当然、上の段の2倍になりますね。どの段でもこういう風に書き換えられます。
だからある段の合計は上の段の2倍になります。

ちなみにパスカルの三角形でn段目の数字は足せば

2^n

になります。1段目２、2段目４、3段目８、4段目１６・・・
確かめてみてください。
（もし、1番上が１一個から始まっているなら一段上げて読んでください。いずれにせよ、
小学生はn乗という考え方もまだ習っていないはずですが）