∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

質問

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

＃以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ）、S(f,Δ）というふうに書けば、s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ）≦s(f+g,Δ）≦S(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ）+ s(ｇ,Δ）＝Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))＝s(f+g,Δ）同様にS(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ) だから、inf(S(f,Δ))＝sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))＝sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))＝sup(s(f+g,Δ))＝、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません（その前までは理解できました）。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が２つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
２つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
（グラフを描いてみればわかると思います）

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)＋s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)＋s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))＋sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

お礼

２度も登場していただきのご回答、改めて感謝いたします。大変助かりましたし勉強にもなりました。

NO1さんの欄にも書きましたが、ちょっと歴史的なことを逍遥していてお礼が大変遅くなってしまったことをお詫びいたします。今後ともよろしくお願いいたします。

どうもありがとうございました。

補足

すばやいご回答を感謝いたします。

示して下さった
s(f,Δ1)＋s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)＋s(g,Δ3)≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))でわかりました！

この不等式より、
s(f,Δ1)＋s(g,Δ2)≦sup(s(f+g,Δ))

ここでΔ1とΔ2とは任意であるから独立に動かせるので、まず、Δ2を固定してΔ1を動かすことにより、

sup(s(f,Δ1))＋s(g,Δ2)≦sup(s(f+g,Δ))
（sup(s(f+g,Δ))－s(g,Δ2) が (s(f,Δ1)) の上界になる）

今度はΔ2を動かして、
sup(s(f,Δ))＋sup(s(g,Δ2))≦sup(s(f+g,Δ))

よって、
sup(s(f,Δ))＋sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))
(ここで上のΔはzk43さんが書かれた「あらゆる分割Δ」という意味）

これで疑問が氷解しました。大変ご親切にどうもありがとうございました。
実は、読み返してみますと、分割Δ1、Δ2を独立に動かすという発想は同書の中にあって、（たとえばP168 など）、本来なら私が気が付かなければならないところでした。突っ込み不足でした。同じΔを考えていたので式を進められなかったのでした。改めて「細分」の威力を思い知った次第です。どうもありがとうございました。

>本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
>たのでは、やや曖昧な気がします。

巻末解答がごく簡単なものなのでどうなのかは分かりませんが、おそらく私の考え不足と思われます。

>しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
>だと絶賛していましたが・・・
>おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

私も「一松信先生は大先生」だと信じていますし、同書は丹念丁寧で創造的ではあると思います。「本の中で論理は通っているもの」というのも同感です。ただ、今回の質問点を含めいくつかの点から考慮すると、初学者が独学でこの本を読破するのはなかなか大変だと思いました。もっとも私が鈍いだけかもしれませんが。（笑）

あと、ご存知とは思いますがこの本は数年前に全面的にリニューアルされてほとんど新版同様の構成と内容になりました。

長い間お時間を取っていただきました。重ねて感謝申し上げます。

回答No.2

zk43

普通は分割の幅を無限に小さくして、sup,infが得られるという
ダルブーの定理を使うと思いますが、この本では、「あらゆる分割」
に対するsup,infを考えることにより、リーマン積分を定義している
のではないでしょうか。もう一度、この本のリーマン積分の定義の
記述を確認されると良いと思います。

結局、「あらゆる分割」でも「分割の幅を無限に小さくする」でも
sup,infは同じなので、リーマン積分としては同じことだと思います。

歴史的なことはよくわかりませんが、おそらく、定義としては
「あらゆる分割」のほうが先にあって、そのあらゆる分割の中でも
分割の幅を無限に小さくした場合が、sup,infになるというのが、
後から分ったのではないかと想像します。なので、わざわざ、
ダルブーの定理という名前がついているのだと思います。
分割の幅を無限に小さくした場合で積分を定義したら、定理には
ならないかと思います。

どんな分割に対しても、
s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ)
ならば、あらゆる分割に対するsup,infを考えて、
sup(s(f,Δ))+ sup(s(ｇ,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))
≦inf(S(f+g,Δ))≦inf(S(f,Δ))+ inf(S(ｇ,Δ))
となり、
inf(S(f,Δ))＝sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))＝sup(s(g,Δ))
ならば、f,gはリーマン積分可能で、しかも不等式の一番左と、一番右
が等しくなって、全体としてイコールとなり、
sup(s(f+g,Δ))＝inf(S(f+g,Δ))
が成り立つので、f+gもリーマン積分可能で、その値は、
sup(s(f,Δ))+ sup(s(ｇ,Δ))＝inf(S(f,Δ))+ inf(S(ｇ,Δ))
＝∫f+∫g
になる、という流れではないでしょうか。

分割の幅を無限に小さくして、ダルブーの定理を使うことなく、
単に、あらゆる分割に対するsup,infを考えることだけで、本全体と
して論理構成されているのかと想像します。

補足

早速のご回答を感謝いたします。詳しく書いていただいてありがとうございました。

>普通は普通は分割の幅を無限に小さくして、sup,infが得られるという
>ダルブーの定理を使うと思いますが、この本では、「あらゆる分割」
>に対するsup,infを考えることにより、リーマン積分を定義している
>のではないでしょうか。もう一度、この本のリーマン積分の定義の
>記述を確認されると良いと思います。

ご指摘のとおりで、「普通は分割の幅を無限に小さく」するという考えはリーマン積分を定義した後に出てきていて、積分の定義は sup,infで流れていきます。この本の特徴のようです。

> s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ)

より、s(f+g,Δ) は s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ) の上界になりますから、
sup(s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ))≦s(f+g,Δ)≦sup(s(f+g,Δ)) は理解できるのですが、なぜ sup(s(f,Δ))+ sup(s(ｇ,Δ))≦sup(s(f+g,Δ)) が成り立つのかがわかりません。もっとも、sup(s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ))≦sup(s(f,Δ))+ sup(s(ｇ,Δ)) まではわかりますが。

私の考えのどこが足らないのかを教えてもらえるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

kabaokaba

記法から想像するに高木貞治先生の解析概論ですか？

書くのがつらいので関数fの上積分・下積分をS(f), s(f)と書きます
inf(S(f,Δ))=S(f)
sup(s(f,Δ))=s(f)です

ダルブーの定理より，
s(f,Δ）+ s(ｇ,Δ）≦s(f+g,Δ）≦S(f+g,Δ）≦S(f,Δ）+ S(ｇ,Δ)
において，Δの幅 -> 0 の極限を考えることにより
s(f)+s(g) <= s(f+g) <= S(f+g) <= S(f) + S(g)
fとgはリーマン積分可能だから
s(f)=S(f)，s(g)=S(g)となるので
この不等式の最右辺と最左辺が等しいので
s(f+g)=S(f+g)=s(f)+s(g)=S(f)+s(g)
つまり
f+gはリーマン積分可能で
∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx

解析概論だったら，多分この前にダルブーの定理が
証明つきででてると思います．
ダルブーの定理の証明そのものはどうするんでしたっけ(^^;;;

お礼

ご回答、改めて感謝いたします。とても役に立ちました。

ちょっと歴史的なことを逍遥していてお礼が遅くなってしまったことをお詫びいたします。今後ともよろしくお願いいたします。

補足

>記法から想像するに高木貞治先生の解析概論ですか？

解析学序説(上)(一松信、1962年、第２版)P167 問1です。ちょっと古すぎる本ですが。(汗)

解析概論は私も持っていますので、あわててダルブーの定理(p93)を見てみました。

ダルブーの定理
分割Δにおける細区間の最大幅をδとすれば
δ→0 のとき lim s(Δ)＝s、 lim S(Δ)＝S

となっています。

この定理を既知とすれば、確かに証明できることがわかりました。ご助言を感謝いたします。ありがとうございました。

不思議なのは解析学序説(上)ではこの表現でのダルブーの定理はなく（積和に関する定理としてはあり）、従ってこの定理を既知として上の問1を証明するのは、初学者には困難なのではないかと思った次第です。質問文に、「それぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われる」と書いたのは、筆者の記述の流れからそのように想像したからです。

この辺のことについてコメントをいただけるとありがたいです。