楕円体の体積は？

質問

長軸をａ、短軸をｂとしたときの楕円体の体積を教えてください。
正確に求めるのは困難だとおもうので、
良い近似値（ここでは正確性より単純性）があれば教えてください。
２ｂ＞ａ＞ｂの範囲です。

また、下記のＵＲＬの回答が納得できないので、
それについても御教授ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=11507

宜しくお願いします。

回答No.4

system7 · ベストアンサー

長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも
「回転楕円体：楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」
を指しているのでしょうか。

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＝１，z=0 　　　　　 　　　　　　 （１）

で示される楕円をｘ軸まわり回転させたとき（^2は２乗を示す）その体積をＶとすると

Ｖ＝2π∫y^2dx　=　2π{(b/a）^2}∫ (a^2－x^2)dx=(4/3)πa(b^2)

となります。（積分区間は０≦x≦a）
ｙ軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。

（１）で示される楕円をｘ軸まわり回転させたときできる図形の方程式は

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＋(z/b)^2＝１ 　　　　　　　　　　（2）

となりこれは半径１の球を，x軸方向にa倍，y軸及びz軸方向にb倍したものと考えられ，容易に体積が求まります。先にnanashisan氏が示しているのがこの方法だと思います。

体積＝（半径１の球の体積）×ａ×b×b＝(4/3)πa(b^2)

更に次式で表される一般の楕円体

(x/a)^2 ＋(y/b)^2＋(z/c)^2＝１ 　　　　　　　　　　 （3）

に対しても同様にして
体積＝（半径１の球の体積）×ａ×b×c＝(4/3)πabc　となります。

ちなみに（１）で表される楕円の面積については，半径１の円をx軸方向にa倍，
y軸方向にb倍したものと考えれば
面積＝（半径１の円の面積）×ａ×b＝abπ　となります。旧課程の高校数学の「代数・幾何」では１次変換とからめてよくこのての問題が扱われていました。

参考になれば幸いです。

お礼

言われてみればそのとおりです。
ところで、
http://www.ne.jp/asahi/prostate/psa/h/nich57.html
の最後の方の「過少評価される傾向」はなぜ出てくるのでしょう？

補足

お礼に示したＵＲＬ先の「過少評価される傾向」
が分りました＾＾；

前立腺を計ってるんでしたね・・・
完全な長楕円体を計測しているものだと、
頭の中で置き換わってました＾＾；

回答No.5

siegmund

積分計算すりゃいいわけですが，
そんなことしないで簡単にやりましょう．
nanashisan さんの回答パクっているようで，
気が引けています．
nanashisan さん，すみません．

楕円体の軸を x,y,z 方向とします．
楕円体の内部を x,y,z 方向に辺が向いた直方体で埋め尽くしてやります．
本当は無限個必要ですが，そこらへんはいい加減で勘弁．
楕円体の体積は(無限個の)直方体の体積の和．
で，どれかの軸(例えば x 軸)の方向に楕円体を引き延ばしてやります．
そうすると，直方体への分割の様子はそのままですが，
各々の直方体の体積は２倍になります．
x 軸方向だけ辺が２倍になるわけですからね．
で，楕円体の体積も２倍．
別に２倍に限らず，何倍でも良いわけですから，
楕円体の体積は x 軸方向の長さに比例します．
同様に，y 軸方向の長さにも，z 軸方向の長さにも
比例します．
すなわち，楕円体の主軸の長さを 2a, 2b, 2c とすると，
(この表現の方が普通のようなので，こうしました)
体積は abc に比例します．
a = b = c のとき，楕円体は半径 a の球(体積 4πa^3/3)
に帰着しますから，比例係数は 4π/3 のはず．
したがって，楕円体の体積は (4π/3)abc です．

同じような議論で，楕円の面積 πab も求められます．

なお，楕円体の表面積を問題にするときは，
上のような議論は使えません．
表面積は楕円積分の第１種と第２種が両方入った式になって
いたと思いますが，ちょっと思い出せません．

お礼

丁寧で分りやすい説明をありがとうございました。
積分の基本も忘れていて恥ずかしいかぎりです。

回答No.3

nanashisan

球の体積 × 引っ張って伸ばした比率

お礼

確かにそのとおりです。
http://www.ne.jp/asahi/prostate/psa/h/nich57.html
を読んだために悩んでしまいました＾＾；

回答No.2

stomachman

楕円体ということだと、軸が３本あるんですよ。a,bだけだと楕円の面積の話になります。お知りになりたいのはどっちだろ？

お礼

すみません。説明が足りませんでした。
回転楕円体で軸はａ,ｂ,ｂでしたがもう解決しました。
ありがとうございました。

回答No.1

Durandal

楕円の面積の求め方は判りますか？
判れば簡単。軸を決めて積分してやればパーフェクト。

お礼

ありがとうございました。
解決しました。