双曲線関数の図形的“意味”とは？
- 双曲線関数とは、双曲線のパラメータを表す関数です。
- 三角関数と比べて、双曲関数の図形的な意味は理解しにくいです。
- 見た目には理解しにくいですが、双曲関数も三角関数と同様に図形的に理解する方法があります。
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双曲線関数の図形的“意味”
三角関数 cos(t), sin(t) は、円のパラメータで、単位円の半径を斜辺とする直角三角形を描けば、cos^2(t) + sin^2(t) = 1 の関係式もすぐに読み取れます。cos(x+t), sin(x+t) で、角度 t の回転を表すこともできます。 ここで、双曲関数 cosh(t), sinh(t) は、双曲線のパラメータであることはわかるのですが、図形的に t とは“何”を示しているのでしょうか（三角関数でいうところの回転角にあたるもの）。変換が、座標を漸近線の方向にぎゅーっと引っ張って縮めていることも理解できるのですが、その動きのどこに t が表れてくるのかがわかりません。cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 の 1 も、一般的な三角関数の図解と同様に図示しても、見えてきません。 三角関数と双曲関数とを対比させ、同じように図形的に理解する方法はないでしょうか。Wiki や WolframMathWorld も検索したのですが、ヒントが得られませんでした。 うまく説明できていないかもしれませんので、適宜補足要求をいただければ幸いです。よろしくお願いいたします。
- baihu
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なんだっけっかなぁ. 昔見た記憶があるんだけど.... x = cosh t, y = sinh t とおいたときに, 「双曲線と y軸及び『(x, y) と原点を結ぶ直線』」で囲まれる図形の面積が t と関係してるんだっけ....
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補足
早速の回答ありがとうございます。 面積を表しているんですね。 実は……、書いた直後に再検索したら、Wikiに載ってました。（検索したと書きながら、どっかで間違えてたようです。すみません(TT)） http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0