公式を発見したのですが、式が複雑すぎて一般化できません（曲線と面積）

質問

放物線において、点A,Bを結ぶとその直線と曲線に囲まれた面積は
S=｜a｜（β-α）^3/6 と表され、A,Bの接線と曲線に囲まれた部分は、
S/2 と表されるようです。

そこで、放物線ではなく3次式でやってみました。点A,Bをとり、その直線
と曲線に囲まれた面積T=｜a｜（β-α）^4/4と表すことができ、A,Bの接線
と2直線に囲まれた部分は、S/3と表せました。

これは偶然でしょうか？それとも一般的に認知された有名な公式なので
しょうか？

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

三次式の結果は間違っています。特別になりたつ例もあるかもしれませんが、一般には不成立です。
直線ABはA、Bが接点でないときには三次曲線ともう一点Cで交わります。このx座標をγとすると
線分ABと曲線で囲まれる面積は
|a/12 (β-α)^3(2γ-α-β)|
となります。
AまたはBが接点の時には直線ABと曲線の間の面積は
|a/12 (β-α)^4|
となります。
説明がありませんでしたが、aは三次の係数、α、βはA、Bのx座標として計算しています。

回答No.4

lick6

よく自力で発見できましたね。驚きです。
この公式はセンターのIIBで時たま使う(使った方が楽)ので是非とも覚えておきたい公式です。
証明を紹介します。とりあえず2次だけ
放物線Ｃ:ax^2 + bx + c (a ≠ 0)
直線ｌ：y = mx + n
とします。
積分範囲であるＣとｌの交点のx座標というのは上の二式を連立させて解いたときの解となります。
この二解を α, β とすると。
連立させた結果
ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0
となりますがこれの二解をαβでおいているので
ax^2 + (b - m)x + (c - n) = a(x - α)(x - β) = 0
という等式が成り立っています。
話しはそれますが右辺を展開して恒等式を利用すると解と係数の関係が導けます。
さて、いよいよ求めたい面積Ｓをだします。
このとき a > 0 とします。つまりＣは下に凸のグラフです。
というのは直線と放物線の上下関係を誤ると面積が負になってしまうからです。
記述式のテストでは「出したら負だったから正に直す」なんてしたら当然減点対象になってしまうと思いますので気をつけてください。
S = ∫[α→β] {l - C}dx
　 = ∫[α→β] {a(x - α)(x - β)}dx
　 = -a * ∫[α→β] {(x - α)(x - β)}dx
　 = -a * ∫[α→β] [(x - α){(x - α) - (β - α)}]dx
　 = -a * ∫[α→β] {(x - α)^2 - (x - α)(β - α)}dx
　 = -a * [1/3 * (x - α)^3 - 1/2 * (x - α)^2 * (β - α)][α→β]
αは代入すると全部消えてしまうので
　 = -a * {(1/3 - 1/2) * (β - α)^3}
　 = -a * -1/6 (β - α)^3
となります。
記憶では公式は
「∫[α→β] (x - α)(x - β)dx = -1/6 * (β - α)^3」だったと思います。
個人的には (x - β) = (x - α) - (β - α) の変形に驚きました。
そんなうまい方法気付くかよ！って思ったのを記憶しています。
三次の方もにたようなやり方で出せたはずですので少し考えてみてはいかがでしょうか？

お礼

詳しくありがとうございます。
私の導いた式は1/3・x^3の式だったので分母が４に
なってしまったようです。

３次のほうも上記の方法でやろうとしたのですが、３個目の解γが出てきてしまうので
２次のように変形がうまくできませんでした。
もう少し考えてみようと思います。

回答No.2

mazimekko3

『3次式』であれば、y=ax^3+bx^2+cx+dとおいて、
積分して面積を求めてみるといいです。
この条件で成り立っているのであれば、一般に成り立ちます。
成り立たなければ当然公式ではありません。
接線も一般式がありますので、計算してみましょう。

お礼

説明が不十分でした。すみません。
＞『3次式』であれば、y=ax^3+bx^2+cx+dとおいて、
これをやってみたのですが、あまりに式が長すぎ、次数が高すぎ、
混沌としすぎたので、A４ノート2枚弱の計算後断念したんです。
公式は2つの3次式において成り立ったのでもしかしたら・・・と
思ったのです。
そんなわけで、ここで聞いてみた次第です。

回答No.1

Mr_Holland

「A,Bの接線」など解釈しづらい言葉がありますが、
公式を独力で導き出したということですか？　すごい！

ちなみに、放物線と放物線または直線とで囲まれる面積については、次の関係が公式として知られています。

∫[α,β] (x-α)(β-x)dx ＝ (β-α)^3／6

この公式のことを言っておられるのかな。

3次式までの結果を見ると、何か規則性がありそうですね。
頑張ってｎ次式で解いてみますか！
（解けるかどうかは責任持てませんが。）