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微分 dx=g'(t)dt の感覚
例えば、∫(2x+1)√(x+2)dx の不定積分を求める場合、 √(x+2)=t とおくと x+2=t^2 から dx=2tdt となりますが、ここでこの dx=2tdt を具体的に頭の中で イメージしたいのですが、どのような表現が最良 でしょうか？ １．xが微小に変化するとき、tの微小変化に2tを かけた分だけ変化する。 ２．xが1変化するとtは2t変化する。 ３．その他。 また、この式∫(2x+1)√(x+2)dx 自体を具体的に イメージするには、定積分と考えて縦(2x+1)√(x+2)× 横dxの長方形を無限に足したものを考えるのが 良いのでしょうか？ そして、∫(2x+1)√(x+2)dx=∫(2t^2-3)・t・2tdt のイメージですが、長方形として考えるとすると、 縦は(2x+1)√(x+2)=(2t^2-3)・tで、 横は dx=2tdt という感覚で良いでしょうか？ 例えば、y=2x^2-5x+1とかならグラフも書けるし、 頂点なども具体的に視覚的にイメージできます。 でも、微積の問題を解いていると文字情報を単に マニュアルに従って操作している感が否めません。 そのような感覚を払拭すべくこの質問をしました。 よろしくお願いします。
- okwave1988
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質問者が選んだベストアンサー
x と t のどちらを独立変数をみなすかにもよりますが, １．のイメージでいいと思います. √(x+2) = t のグラフを描くと, そのグラフ上の点 (x, t) の付近では「t が微小に変化すると x はその 2t 倍だけ変化する」はずです.
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- kishiura
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理系大学４年です。 半ば強引な回答かもしれませんが、「そういうものとして受け入れる」しかないと思います。 理詰めで考えたいという質問者さんの気持ち、よく分かります。 しかし、例えば大学では、 ｘが０の近傍であるとき、n回微分可能である任意の関数ｆ（ｘ）に対し、 f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^2/2!+…f(n回微分）(0)x^n/n!+… で表すことが出来る。これをマクローリン展開という。 ということを習います。先生はこれを証明しないし、教科書にも証明の方法は書いていません。 大学では理詰めでは分からないものが多々出てきます。こういうものだ、と受け入れなければならないこともあるのです。
お礼
理系の大学生の方の意見は参考になります。 自分はまだ血肉となるほど微分に触れていないので。 回答ありがとうございました。
- mirage70
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イメージできるのであれば、グラフを書けばよいのではないですか y1=2x+1 , y2=√(x+2)と置いて、y1 , y2のグラフを描き、 y2>=0より、x>=-2 後は、特異点を見つけだすだけです。 x=-2の時y2=0よってy1*y2=0 -2<x<-1の時0<y2<1より、y1*y2<0でy1より上になる x=-1の時y2=1よってy1*y2=y1(y1と交わる) この後、x>-1の時y2>1です -1<x<-1/2の時y1*y2<0でy1より下 x=-1/2の時y1=0よつてy1*y2=0 以後はy1*y2>0でy1より上 x=0の時y1*y2=√2
お礼
これはグラフのおおよその形を知る方法でしょうか？ 図を描いて試してみました。ｘの式とｔの式を比較 しましたが、同じになるかと思ったら違いますね。 ますますわからなくなってきました。 この方法は参考にさせていただきます。 回答ありがとうございました。
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