微分法（絶対値の最大値・最小値）

質問

【問】関数　ｆ（ｘ）＝│x(x-1)(x-2)│（－１≦ｘ≦３）
　　　の最大値・最小値を求めよ。
【自己見解】
始めに絶対値なしの関数を考える。
ｇ（ｘ）＝ｘ^3－３ｘ^2＋２ｘ
ｇ’（ｘ）＝３ｘ^2－６ｘ＋２　ｇ’（ｘ）＝０⇔ｘ＝３±√３/３
で、グラフをかきにかかったんですが当然複雑な数字になって無理てした。。
ヒントとしてグラフを利用。
とあったんですがとうやってとけばいいのでしょう？

回答No.2

ccyuki · ベストアンサー

ｆ（ｘ）＝│x(x-1)(x-2)│（－１≦ｘ≦３）　のグラフは割りと簡単にイメージできます。
　まず　　y＝x(x-1)(x-2)　のグラフは　
　x軸と　x=0,1,2　で共有点を持っていて
全体としては　／＼／　　という感じですよね。
問題は絶対値が付いていますから
このグラフのx軸より下にある部分を上側に折り返したものが
ｆ（ｘ）＝│x(x-1)(x-2)│　　のグラフです。
定義域が　－１≦ｘ≦３　ですから
　まず最小値は　x=0,1,2　のとき　0
最大値は　質問者さんが求めた　ｘ＝(3±√3)/3　か　x=-1,3
のところに可能性があります。
　計算すると　f((3±√3)/3)=2√3/9,f(-1)=f(3)=6
ですから　x=-1,3　のとき　最大値　6です。

f((3±√3)/3)が複雑であきらめたみたいですけれど
　3±√3/3=1±√3/3　として　ｘ^3－３ｘ^2＋２ｘ　ではなく
元の　ｆ（ｘ）＝│x(x-1)(x-2)│　に代入すれば楽ですよ。

お礼

なるほどとけました！
ありがとうございます！！

回答No.1

m0r1_2006

絶対値なしのグラフを書きましょう．
＞複雑な数字
そんなの適当で（プラスマイナスの符号だけ注意）良いでしょう．

g(x) は，x = 0, 1, 2 で 0 になる（x 軸と交わる），
右上がりの３次関数なので，適当に書いてください．

gのグラフの負の部分を x 軸で折り返せば，f(x) のグラフです．

ちなみに， f(x) の最小値は ０，
最大値を取る可能性のあるxは，g'(x)=0 か区間の両端です．
結局　複雑な数字　の計算が必要です．