くっついたら離れない？

質問

F=GMm/r^2
（G：万有引力定数）
という式がありますが、
分母が2物体間の距離の二乗ということは
接触したら
lim r->0
で
F->無限
となって離れなくなってしまうのではないでしょうか？

私は何を勘違いしているのでしょうか。
教えてください。

回答No.14

guiter · ベストアンサー

stomachmanさんのニュートン力学という言葉を見て初めて、一般的には
古典力学（ニュートン力学）のイメージを持っているものだと気付きました。
いつのまにか量子というものが当たり前になっていたようです。
数日前に登録したばかりの回答初心者なものですみません。
さまざまな分野ですばらしい回答をしておられるstomachmanさんに
敬意を表します。

それはさておき、もとの質問に対する直接的な答えはstomachmanさんの仰るように
＞物理じゃないものを物理と「勘違い」された
ということですね。
ｒの値がある程度大きい時のみ使える近似式ということです。
さまざまな力についての議論は十分にされているので、
ミクロの世界（量子力学以降）での「くっつく」というイメージが
どのようなものかを説明してみます。
かける絵が限られているので、うまく説明できいないかもしれませんが、

まずは、比較のために古典力学から。
下の絵は円柱を横から見たものと思ってください。
真上から見ると丸く見えます。その円が陽子だとかの粒子で、
直径が粒子の大きさです。
また、横から見て円柱の（高さの）存在するところが、粒子が存在するところで
そうでないところが真空（この概念も後で言うように難しいですが）です。
そして、この２つの粒子が近づいてきて「くっつく」というのは
Sephyさんがイメージしているとおりだと思います。
（接触するぎりぎりの話は深く考えずに）くっついているか離れているかは２つに１つです。
　　　┌―┐　　　　┌―┐
　　　│　 │　　　　│　 │
＿＿│ 　│＿＿＿│　 │＿＿＿

しかし、20世紀初頭の量子力学以降では少し違います。
次の絵は円錐台を横から見たものと思ってください。
今度は先に横から見てみます。
まず、「存在する」と「存在しない」の中間のような状態
（絵では斜面にあたる部分）があることが古典力学と違うところです。
そうすると粒子の半径自体があまり明確ではなくなってきます。
ですから、したの絵のように「くっつく」と「離れる」の中間のような状態
もあります。（少し不正確な言い方かもしれません）
また、真空を古典力学のときと違う絵にしていますが、
真空は小さく揺らいでいます。
それが何かのひょうしで大きく揺らいだもの（絵では円錐台）が粒子です。
その大きな揺らぎは時にはいくつかの小さな揺らぎに分かれてしまいます。
それが粒子の崩壊といわれるものです。
例えば、μ粒子というものでは 2.2×10^-6 秒で電子とニュートリノ２つに
崩壊します。

　　　　／￣￣＼　／￣￣＼
　　　／　　　　　×　　　　　　＼
~~~~~~　　　　　　　　　　　　　　　~~~~~~
数式をうまく文章であらわせないので、あくまでなんとなくこんな感じと
いう程度に思っておいてください。
どちらにせよ今の理論では無限に小さい時空（位置での微分など）を
使っている時点でいろいろな物理量の発散が問題になっているのです。
こういったイメージもいずれ古いものになってしまうかもしれませんね。

おまけと物理学の宣伝です。
質量の起源といわれる Higgs 粒子に関する世界共同の素粒子実験（ATLAS）が
2005年にスイスの Cern 研究所で始動します。
また、新しい事実が出てくるかもしれませんね。

お礼

皆様、良回答ありがとうございました。
本題以外にもプラスアルファの話が聞けてとても面白かったです。

補足

とうとう図による解説がでてきました。
なるほど中間の状態とか真空の揺らぎとか、相対論もそうですけどほんとに自分達の「常識」の世界とは別世界のように思えます・・・ほんとに自分達の世界を解析したらそうなるのか？って感じで。
ヒッグスの名前は聞いたことあります。
新聞で「ヒッグスの存在を裏付けるか？」みたいな記事を読みました。
さっぱりわかりませんでしたけど・・・

回答No.13

stomachman

三度目のなんとやらで....
質問で「物体」とは仰っているものの、どうやらこれはニュートン力学における質点同士の話になっているようですね。guiterさんが、
> 本当の答えは物理学者が考えているところ
と仰っても、これはニュートン力学が成り立つことを前提にしている訳じゃない。

●ニュートン力学では固体が形を保っていることは自明として説明してません。だから、「重力だけ考えれば物体は質点に縮退する」という議論を認めるのなら、これはニュートン力学ですらないと言えます。つまり、単に２個の質点という数学的対象に関してF=GMm/r^2 という式が一本あるだけ。まずはこれを前提にして考えましょう。
こういう問題だとするならば、もちろんＦは無限大に発散します。離れなくなる。経験と一致しなくても、それは数式であって物理じゃないからしょうがない。それだけの事です。物理じゃないものを物理と「勘違い」された、という回答になります。

●次に、Sephyさんが何度かコメントされているような、原子核同士が近づいたとき、その場合の重力と電気的反発力の関係を調べましょう。物は抽象的な点じゃなく原子核ですから、少なくとも古典原子物理として考察する必要があり、今度はもちろん他の力を無視する訳には行きません。
　二つの水素原子核（つまり陽子）を近づけます。その質量をM、電荷をqとすると、重力がG(M^2)/r^2 であるのと同様、電気力も-K(q^2)/r^2という形であるということに注意し（Kはあとで説明する定数です。）合力を求めると、(G(M^2)-K(q^2))/r^2 で、これが正なら引力、負なら斥力ですね。そして、この式全体の符号はrとは関係がないこともお分かりでしょう。つまり、G(M^2)-K(q^2)が正か負か、だけで答が出ます。
K=1/4πε, ε≒9×10^(-12)[F/m] は真空の誘電率、また単位は[F]= [s^4 A^2/m^2 /kg]。よって、
K≒10^10 [m^3 kg/s^4/A^2]です。また
q ≒1.6×10^(-19) [sA]は陽子の電荷です。従って、
K(q^2) ≒10^(-28)[m^3 kg/s^2]
です。一方、
G≒7×10^(-11)[m^3/s^2/kg]は万有引力定数。
M≒1.7×10^(-27)[kg]は陽子の質量。よって、
G(M^2) ≒ 10^(-64)[m^3 kg /s^2]
ですから、G(M^2)-K(q^2) < 0。反発力です。重力は電気的反発力に比べて、およそ36桁弱い。わずか
0.000000000000000000000000000000000001 倍しかないんです。この比は(r>陽子の直径)であればrによらず一定であることが、式からお分かりでしょう。電気的反発力を考慮すると、原子核同士が近づくときの重力が無視できることがご理解いただけますでしょうか。
　さて、rが陽子の直径程度になると、いよいよ核融合の物理の話です。これはhatobouさんがお得意らしい「強い力」による相互作用ですが...いや、陽子の内部構造を議論しなくてはなりませんから、「強い力」だけじゃもう無理です。量子色力学（QCD Quantum Chromo Dynamics）という理論を使わなくてはなりません。こうなると大変ですね。でも既に原子核は質点とは言えない状態ですから、これ以上やる必要はないでしょう。
　要するに陽子を余程思いきり高速で正面衝突させたというのでない限り、陽子同士が近づくのは困難であり、そのプロセスにおいて常に重力は無視できるほど弱い、ということです。

●さらに、レプトンのような内部構造のない点粒子、しかも電気的に中性の粒子が近づくところを考えましょう。今度は本当に（guiterさんの仰るように）くっついたら離れない、というおそれがあります。くっつくとしましょう。真空からはいろんな粒子が勝手にわき出しては消えてますから、これらがどんどんくっついていくと、やがて自重でブラックホールになってしまう。（この過程で既に話は一般相対性理論の世界になっていて、単純にF=GMm/r^2とは言えませんが、それはさておき）ブラックホールになると、もとの粒子が何であったかには関係なく、電荷・角運動量・質量というパラメータだけで物理が決まってしまう。そして（ペンローズ-ホーキングによれば）微小なブラックホールはすぐいろんな粒子を放出して崩壊・消滅します。もとの粒子ではなくなってしまうけど、結局くっついても離れたみたいですよ？
　一方、超弦理論が正しくて、レプトンも微小なサイズを持っているとすると、重力の相互作用は超重力理論になります（よね、guiterさんてば。）もはやF=GMm/r^2 なんてカワイイ式で扱える範囲じゃない。いやはや、ここまで来ると勉強不足でお手上げデス。

補足

なるほど、わからない用語も多々出てきましたが、考え方はわかってきた気がします。
小さなの世界の話になると「超弦理論」とか所謂これから解明していく必要がある物理が出てきて回答が1つに絞り込めない、と、そういうことですか？

回答No.12

guiter

現実的な話だと皆さんが仰っていたように、そこらへんの物体には大きさがあるのでたかだか有限ですね。

もう少し小さな世界で考えたとすると、原子程度より大きいときには電磁気力が、
原子核内部などを考えると強い相互作用が、重力よりはるかに効いてきます。
強い相互作用については少し専門的な知識が要りますが、
電磁気力と重力の強さを比べるなら、万有引力定数Ｇ、クーロン定数ｋ、
陽子、電子等の質量や電荷を調べればすぐにわかると思います。

他の力が面倒なので、現実的ではないですが重力相互作用のみが存在したとして、今の物理学では、無限大になってしまうというのが答えではないでしょうか？

でもやっぱり納得できないですよね。
もっとも基本的な素粒子（今のところクォーク、レプトンなど）でさえ
大きさがあるのですから（電子等のレプトンの大きさはわかりませんが・・・）
現実を無視して理論だけが無限大に発散していては困ります。
そこで、今有力なのが超弦理論というやつですね。
ものすごく小さなひもの振動状態の違いが粒子の違い等を表すというやつです。

ということで、本当の答えは物理学者が考えているところです。
というのはずるいですか？

補足

とても興味深い話です。
やはり専門的な知識が必要なんですね。
今の私には原子核くらいの大きさの話になると安易に力を無視できない、くらいのことしかわかりませんが・・・
0/0の不定形を考えるみたいなものかな・・・

回答No.11

stomachman

hatobouさんてば、よくわかんないです。
「大きさ」そのものは、フラスコの中の真空だって大きさはありますよ。
「ものの大きさ」という点では、普通のものは電磁力で縮退圧を発生しているのだからhatobouさんの仰る通りだと思ってます。前の回答でそう書いたと思いますが？

回答No.10

hatobou

質問者側に立って回答者の間違いを正したい
ですね。

ｓｔｏｍａｃｈｍａｎさんのいう大きさとは
何の事を書いておられるのでしょうか？
　大きさとは測る物があってはじめてわかる
物ですよね。マクロな物に至ってはものさし、
ミクロな物では電子など。
　すなわち両方ともクーロン力に関係する測
り方ですよね？光子と電子の反射によって測
定しているのですから。
　クーロン力の斥力があってはじめて大きさ
というものができるのです。ノギス等で測っ
た場合の弾性の力もクーロン力の斥力です。
　つまり、万有引力だけしか働いていない時
は「大きさ」というのは無視してしまい、重
心に集中してしまうと思います。

原子の半径は１０のー１０乗、原子核の半径
は１０の－１４乗だそうです。

弱い力、強い力は大学にもよるかと思います
が少なくとも私のいる大学では教わりません。
大学院レベルの内容かと思います。
　ブルーバックス等の本で独学してみてはい
かがでしょう。あれならば高校生でも読むこ
とはできます。

回答No.9

stomachman

どうも話がすれ違いすぎるので、考えたんですが....ひょっとしたら、ご質問の中でF=GMm/r^2 のrを「物体間の距離」と仰っているのは、文字通り「物体同士の隙間がr」という意味？
それは間違いです。rはそれぞれの物体の重心間の距離を表します。r=0になるというのは二つの物体に大きさがある限り無理です。

> 「たかだか有限」で済むくらいの距離
仰る意味がよく分かりませんが、無限でなければどんなに大きくても「たかだか有限」ですけど。従って、有限の力でひっぱがすことは出来る。

原子と原子核の違いについて、F=GMm/r^2 をご存じというレベルの方にどう説明すべきか、ちょっと困るんですが、
原子核は陽子と中性子が集まって出来ていて、原子の真ん中にあってもの凄く小さい。原子核の周囲の広い空間に幾つも電子があって、原子核に強く束縛されている。その全体が原子です。
とでも言うのかな。

補足

rが重心間距離なのはこれより下記の回答で理解しています。
5兆ニュートンくらいの力がかかってたら「たかだか有限」とは言えないかな？と思ったんですけど。あまり気にしないでください・・・
原子と原子核の違いはわかりました。なんか学校の授業でも聞いたかもしれないと薄々・・・

回答No.8

stomachman

> 重い原子を2つ用意して、それを十分近づけた場合、2原子間の距離の二乗
> の方が2原子の質量の積よりも遥かに大きいということは無いんですか？
あります。でも無限大じゃなくてたかだか有限ですよ。
このときに電気的反発力が生じることで、それ以上つぶれないように支えられます。縮退圧って言います。電気力に比べて重力というのはとてつもなく弱いので、簡単に支えられてしまいます。

なお、原子と原子核は別のものです。原子核は桁違いに小さい。原子が接したぐらいじゃ核融合は起こりません。

補足

なるほど「たかだか有限」で済むくらいの距離までしか近づけないんですか。
原子と原子核の違いがわかりません。
原子も原子核も「（陽子＋中性子）＋電子」の一塊のことじゃないんですか？

回答No.7

hatobou

電磁力というのは静電引力であるクーロン力と磁力をひっくるめた
ものの呼び名です。

つきつめて考えると私はよくわからなくなるのですが、中性子は単
独ではすぐにβ崩壊によって陽子と電子に分離してしまう為に隣り
合えないのではないでしょうか？

　これもよくわからないのですけど４つの力（万有引力、静電引力
、強い力、弱い力）にはそれぞれ力の働く境界があってうまく潰れ
ないように働いているそうです。
　それを基にしてヘリウムの原子核で考えてみます。ヘリウムの原
子核は電気的に陽子が二つあるのでクーロン力で分かれてしまいま
すよね。それを引きつけているのが強い力と弱い力なのです。
　で、核融合というのはクーロン力の斥力にうち勝って強い力が届
く範囲まで来た時に起こるものです。その後は斥力と引力がつり合
う所で止まるのではないでしょうか。
　この距離まで来ると他の力に比べてあまりにも万有引力は小さい
ために省略されています。

　陽子をはじきとばすのはクーロン力の斥力だと思います。

＞ｓｔｏｍａｃｈｍａｎさんとｓｅｉｇｍｕｎｄさん
話を見ていますと少し気になります。
中心に近づくにつれて質量が小さくなると書いておられますが、結
局引力はそれぞれの中心方向から微弱ながらも出ているのですから
最終的には一致してしまうと思うのですがどうでしょうか。

回答No.6

tatimi

下の「回答に対する補足」につきまして。
原子同士がくっつくのは、核融合でして
太陽とか星(恒星)の中でおきています。
ですがこれでも、別の原子核どうしがくっついて
ひとつの原子核になるという現象でして、
例えば中性子同士は隣あっているだけで、
距離 0 ではありません。

核融合を起こすためには、太陽のような巨大な質量に
よって生み出される圧力(というか力)が必要です。
この時は、電子同士の電磁気力の斥力が大きくなり、
どんなに重い原子でも引力でくっつけられるもの
ではありません。

で、一度くっついた原子核ですが、たくさんの
エネルギーを使えば、今の地球の技術で分解でます。

ここから先、中性子同士の重心距離(*1)が
なぜ距離 0 にならないかとかは
「強い力」「弱い力」と呼ばれる別の力が出てきます。
興味がありましたら以下の URL などいかがでしょうか？
トリスタンの研究所です。

*1:中性子の重心と言ったって...。(^^;?

参考URL：

http://www.kek.jp/index-j.html

補足

核融合の話は聞いたことありますし、下記もそれを意識して書きました。核融合させても引き離すことができるので私がどう勘違いしているのか知りたいんです。
「中性子同士の重心距離」「強い力」「弱い力」の話の所は非常に興味があります。参考URLの内容は恐らく今の私には難し過ぎますね・・・大学に入ったらこの辺詳しく調べてみようと思います。

回答No.5

siegmund

皆さんの回答で尽きているようですので，
少しだけ補足．

Sephy さんが読まれた本が教科書のようなものであれば，
質点に関する説明があると思います．
いちいち物の大きさを考えるのは面倒なので，
簡単に重心に質量が集まっているとしてしまえ，
というわけです．
でも，大きさのない点に有限の質量があるのですから，
密度は無限大になっていて，
簡略化の代償としてときどきおかしなことが起こります．
Sephy さんの疑問はそういうことに関連しています．

F = GMm/r^2 で，
m を単位質量にとった GM/r^2 を引力場と呼んでいます．

半径 a の球殻に質量が集中しているとすると，
Stomachman さんの言われるとおり
外側では引力場は GM/r^2 (r は中心からの距離)，
内側ではゼロになることが知られています．
ちょうど球殻のところでは引力場が GM/a^2 からゼロに
突然変化しちゃいますね．
厚さゼロの殻だと体積もゼロですからやはり密度が無限大で，
多少おかしなことが残るわけです．
質点よりは異常性がおとなしいですが．

半径 a の球内に一様に質量が分布しているとすると，
引力場は，球外では GM/r^2，球内では GMr/a^3，
ということが知られています．
これなら，r=a としても値が突然変化したりしません．
また，中心の r=0 を代入すると，
引力場はゼロになりますね．
球の中心では，どの方向からも同じように引力を受けていますから
全部打ち消しあって引力場はゼロになるのです．

正負電荷の間のクーロン引力も万有引力と同じく
1/r^2 の距離依存性がありますから，全く同じ状況が起こります．

これで，無限大の心配はありませんね．
力が無限大じゃないので，万有引力より強い力で引っ張れば
くっついている物を引きはがすことができます．
で，地面に落ちている石ころも無事拾い上げられます．

補足

他の半径について書かれている方々とまとめさせてください。

重い原子を2つ用意して、それを十分近づけた場合、2原子間の距離の二乗の方が2原子の質量の積よりも遥かに大きいということは無いんですか？

回答No.4

hatobou

私には万有引力だけを考えたならば離れないと思い
ます。
万有引力は引力だけであって、斥力はありませんよ
ね？斥力があってはじめて距離を置くことができる
はずです。

現実の物体には電磁力も働いていて、しかも近づく
と重力の引力よりも電磁力の斥力が効き始めるので
（電子同士が近づくというような）その斥力のおか
げで離れていられると思うのですが、いかがでしょ
うか？

補足

他の方々と違う意見なので非常に興味深いです。
「電磁力の斥力」がわかりません。
電磁力は磁界に垂直な向きに電流が流れることによって起こるローレンツ力の合力と習いました。
それとは別なんですか？