付け値関数の求め方

質問

まず問題を書かせていただきます。

効用関数が

U(z,h)=z^α×h^(1-α)

であり、所得制約が

y-tx=z+Rh

の形をしている。ここでzは消費財、hは住宅の敷地面積、yは所得、xは都心からの距離、tは単位距離あたりの通勤費用である。
このとき、付け値関数R(y-tx,u)と地代勾配R^*'(x)を求めよ。

という問題についてですが、解答を見てみると

【解】
立地点を所与にした効用最大化問題の解は

Z=α(y-tx)
h={(1-α)(y-tx)}/R

であるので付け値関数は

R(y-tx,u)=(1-α)×α^(α/(1-α))×u^(-1/(1-α))×(y-tx)^(1/(1-α))

となる。

とありました。正直、最初に出てきた効用最大化問題の解Z,hの求め方すら分かりません...どうしていきなりこんな式が出てきたのか。もちろん付け値関数の指数だらけの式はなおさらさっぱりです。ここまでの求め方を教えていただきたいです。地代勾配についても触れていただければ幸いです。
こちらの都合になってしまうのですが、時間が無くて出来るだけ早い回答を頂ければ助かります。どうぞよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

gootttt · ベストアンサー

はえーーややっこしいですね。
地代勾配R^*'(x)は分からないけど、付け値関数R(y-tx,u)までは分かりました。

まずhとzの限界代替比率と、hとzの価格比になるようにするのが、Uを最大化する方法です。

したがってhzを偏微分すると
Δh=(1-a)z^(a)xh^(1-a)xh^(-1)
Δz=axz^(a)xh^(1-a)xz^(-1)
したがって
Δh/Δz={(1-a)z^(a)xh^(1-a)xh^(-1)}/{axz^(a)xh^(1-a)xz^(-1)}
=(1-a)z/ah=Ph/Pz
となります。
したがって
Phxh/Pzxz = (1-a)/a　⇒　Phxh：Pzxz = (1-a)：a

つまり土地を買うのに予算の(1-a)、消費財を買うのに予算のaを使えば効用が最大化します。
ここで予算制約線は↓なので
y-tx=z+Rh
より
z=a(y-tx)
Rh=(1-a)(y-tx) ⇒　h=(1-a)(y-tx)/R
となります。

次にRを求めます。
h=(1-a)(y-tx)/R ⇒　R=(1-a)(y-tx)/h
そしてhをuとy-txで表示します。
U=z^a×h^(1-a) ⇒ h^(1-a)=(u/z^a)=(u/{a(y-tx)}a) ⇒ h=(u/{a(y-tx)}a)^(1/1-a)

あとはこのhをR=(1-a)(y-tx)/hに代入すると答が出ます。ぜえぜえorz
えーと地代勾配については私も答を知りたいので是非とけたら回答を教えてくださると嬉しいです。

お礼

ありがとうございます！ほんとややこしいですよね＾＾；
地代勾配は付け値関数を微分するだけでした！