多角形の中心点の座標の求め方

一般の多角形の重心の公式を導いてみました．

多角形の頂点を Pi＝(Xi，Yi) (i＝1，…，n) とし，また P(n+1)＝P1 と定義すると，

・多角形の向き付き面積 (頂点列が左回り順ならば＋，右回り順ならば－)
　S ＝ (1/2)Σ(i＝1,n) (Xi * Y(i+1) - X(i+1) * Yi)．

・重心のＸ座標
　Xg ＝ (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Xi^2 + Xi * X(i+1) + X(i+1)^2) * (Y(i+1) - Yi)．

・重心のＹ座標
Yg ＝ (1 / (6 * S)) * Σ(i=1,n) (Yi^2 + Yi * Y(i+1) + Y(i+1)^2) * (X(i+1) - Xi)．

一応，検算として，n＝3 の場合によく知られた三角形の重心の公式
Xg ＝ (X1 + X2 + X3) / 3
Yg ＝ (Y1 + Y2 + Y3) / 3
になることは確認したつもりです．
どなたか，具体例に当てはめてチェックしていただけるとありがたいです．
(私は公式を導くだけで疲れました．orz)


証明はちょっと面倒で，ベクトル解析の知識が必要です．
(知識のない方は読み飛ばしてください．)
長くなるので概要だけ示します．

まず，一般の図形の図心 (密度一定の場合の重心) の定義は次のように，
図形内部の面積分で定義される．

Xg ＝ ∫X dS / ∫dS．
Yg ＝ ∫Y dS / ∫dS．

上の２つの式の分母はもちろん図形の面積で，
∫dS ＝ ∫Y dX (積分路は右回り)
＝ －∫Y dX (積分路は左回り)
で求められる．(図を描いてみればすぐにわかります．)
多角形の場合には最初に示したＳの式になる．

分子の計算は厄介．分母の場合と同様に，面積分を図形の境界上の線積分に変換するが，
ストークスの定理を用いるため，Ｚ軸を付け加えて３次元で考える．

図形はもちろんＸＹ平面上にあるので，その単位法線ベクトルＮは (0, 0, 1)．
rot A ＝ (0, 0, X) となるようなベクトルＡを考えると，ストークスの定理により
∫X dS ＝ ∫(rot A)・N dS ＝ ∫ A・dL (dL ＝ (dx, dy, dz))

A＝(0, X^2/2, 0) とすると rot A＝(0, 0, X) なので
∫X dS ＝ ∫ (X^2/2) dy．
これを多角形の場合について計算すると，上記の Xg の式になる．Yg も同様．


重心 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%BF%83

ストークスの定理 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

投稿日時 - 2006-11-16 20:51:45

#3さんのようになるのかと思ったのですが、
(10,10)、(-10,10)、(-10,-10)、(10,-10)を頂点とする正方形の重心は(0,0)ですが、(9,10.1)、(8,10.2)、(7,10.3)、(-7,10.3)、(-8,10.2)、(-9,10.1)を加えた10角形の座標を平均して出した点は(0,6.12）となり、重心とは思えません。

投稿日時 - 2006-11-12 18:42:03

4角形の場合、二つの3角形に分けてそれぞれの重心を求めると、その2点を結ぶ線分に4角形の重心があるので、もう一組の分け方で分けた場合の線分との交点が重心になります。

5角形の場合、3角形と4角形に分けてそれぞれの重心を求めると（4角形は上記の方法による）、その2点を結ぶ線分上に重心があるので、別の分け方で同じことをして交点を求めればよい。

6角形は．．．

のようになり、かなり面倒なことになるのではないかと思います。

投稿日時 - 2006-11-12 18:22:24

頂点座標が全部わかってるなら、重心は簡単です。
ｘ座標、ｙ座標とも平均値をとればいいのです。
ｘ＝（全部の点のｘ座標の和）/（頂点の数）
ｙ＝（全部の点のｙ座標の和）/（頂点の数）

投稿日時 - 2006-11-12 18:18:03

　重心ですか．なるほど．
　ちなみに多角形は密度一定の剛体ですよね．これは難しい・・・

　明解な回答を思いつかなかったですので，詭弁を(笑)
　多角形を複数の三角形に分割し，各三角形の重心を計算してから更にその重心を求めるという方法でどうでしょう？ ^^

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/CG/ , http://www.nikonet.or.jp/spring/heso/heso2_1.htm

投稿日時 - 2006-11-12 18:12:19