円と接線の関係はどうやって証明できるのでしょう

質問

「円の接線と、その接点と円の中心を結ぶ線分は直角に交わる」。これはどのように証明するのでしたでしょうか。是非お教えください。

回答No.2

pascal3141 · ベストアンサー

円周上に離れた２つの点Ａ，Ｂをとる。すると弦ＡＢの中点Ｍと中心Ｏを結んだ線分ＯＭは、ＡＢと直交することは直ぐに証明できます。また条件よりＭはＡＢの中点なので、点Ａ、点Ｂをお互いに近づけていっても直交の条件は成り立ちます。Ａ、Ｂが重なった時、弦ＡＢ（それを延長した直線）は１点Ａ（Ｂ）を通ることになり接線になります。よって接線は半径と直交します。

お礼

早速にありがとうございました。良く分かりました。十分承知していることをいざ証明してみようとするとできないことが偶にあります。助かりました。

回答No.3

debut

一例ですが、

直径をＡＢとし、Ｂにおける円の接線上に点Ｔをとる。
ＡＴと円との交点をＣとすれば、△ＡＢＴと△ＢＣＴで
接弦定理より、∠Ａ＝∠ＣＢＴ・・(1)
共通な角だから∠ＡＴＢ＝∠ＢＴＣ・・(2)
(1)(2)から、２つの三角形で２組の角が等しいから残り
の角は等しくなる。
よって、∠ＡＢＴ＝∠ＢＣＴ・・(3)
一方、∠ＡＣＢは直径の弧に対する円周角なので90°
よって、∠ＢＣＴ＝90°・・(4)
(3)(4)から、∠ＡＢＴ＝90°となり、円の接線と半径は
垂直になる

お礼

ありがとうございました。でも接弦定理は接線と半径が直角に交わることを利用してできた定理ではなかったでしょうか。もし違っていたらごめんなさい。

回答No.1

neKo_deux

微分なんか利用して円上の任意の点の接線の式を求める。
その点と円の中心を結ぶ式を求める。
直行するのだから、２直線の傾きの積が…いくつだっけか？になる事を利用して、照明する。
とか。
一例だと思いますが。

お礼

ありがとうございました。もう少し考えてみます。