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ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群⇔kがLCM(m,n)の約数
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言おうとしていることは分かりますが、ちょっと表現がおかしいですね。 m,nを互いに素な自然数としたとき、 Zmn=Zm(〇+)Zn の部分群の個数はmnの約数であり、それぞれの部分群の位数はmnの約数です。しかし、Zmnの部分群はZkでしょうか？もう一度、「有限生成アーベル群の基本定理」を復習してみるととをお薦めします。 直和であるためには、GCM(m,n)=1でなければなりません。たとえば、 Z3(〇+)Z16の要素を(x,y)と表したとき、要素(2,5)は、３で割れば２余り、１６で割れば５余る整数の代表元です。従って、中国剰余定理より、LCM(3,16)=48を法とする解が求まることになります。GCM(m,n)≠1ならば、解の一意性が保証されませんので、直和にはなりません。
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- rabbit_cat
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ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群 っていう表現がよくわからないのですが． 普通に考えれば，k,m,nがそれぞれ異なるとき，ZkとZmとZnには共通の元は１つもないので，ZkがZmとZnの直和の部分群になることはありえないような．
お礼
有り難うございます。 > ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群 > っていう表現がよくわからないのですが． 群Z3(〇+)Z16は幾つの部分群を持っているか?(〇+は直和の記号と思われます) という問題を見つけまして その解答は Z3(〇+)Z16はアーベル群でGDC(3,16)=1なので位数3×6=48を持つ。 従って、部分群の個数は48の正の約数の個数に等しい。 その約数は1,2,3,4,6,8,12,16,24,48なので 答え10個 となっています。 それで下記のような命題が成立つのかなと思い立ちました。 ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群 ⇔ kがLCM(m,n)の約数
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お礼
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