【確率】次の問題の独立性は明らか？

質問

（問題）
偏りのないコインを投げて、表が出たら赤玉、裏が出たら白玉を入れる操作を３回繰り返す。
この袋の中から１つめの玉を取り出したとき、白玉が出た。
このとき、２つめの玉も白玉である（条件付）確率を求めよ。

（考察）
ここで、袋の中に３つの箱を仕掛けておいて、玉を入れる操作のときに、この箱の中に１つずつ入れるとします。（このとき、各箱には赤、白の玉が入る確率は確率1/2ずつで、しかも各箱に入る玉の色は互いに独立であることは明らか）
で、１つずつ箱を取り出して、その中にある玉の色を見ることにすると、１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立であることがいえると思います。
（袋の中に玉を入れて取り出す、というモデルも崩れてはいないと思います。）
よって、求める確率は1/2。（いや、普通に条件付確確率を計算しても1/2なのですが^^;）

（質問）
１．上の考察は正しいですか？（正しいと思っているのですが・・・）[Y/N]
２．この問題って、見た瞬間に独立であることは明らかなんでしょうか？[Y/N]
３．もっと簡単に独立であることが示せるならご教示ください。

回答No.3

holydevil

１．に関しては正しいと思います。
２．３．に関しては解説したいと思います。

それぞれの袋は（●：赤　○：白）
A.●●●
B.●●○
C.●○○
D.○○○
の可能性があります。が

玉の入り方は
1.●●●
2.●●○
3.●○●
4.○●●
5.○○●
6.○●○
7.●○○
8.○○○
でどれになるかは全て1/8です。

これを集計すると組み合わせの確率は
A.●●●　1/8
B.●●○ 3/8
C.●○○ 3/8
D.○○○ 1/8

なんて考えたらダメです。白玉を取ったあとからの確率ですから。つまり

1.●●●
2.●●○
3.●○●
4.○●●
5.○○●
6.○●○
7.●○○
8.○○○

の１２個の白玉どの白玉を自分は取ったのか？ここから
条件分岐します。
あとはstomachmanさんと同じですね。
結果はもちろん 1/2

回答No.2

starflora

回答です。少し、ひねくれています。

　　１）正しいという考えの人が多いかも知れませんが、わたしは間違いだと思います。
　　２）見た瞬間に独立が明らかかどうかは、その人の思考力・洞察力と、またはこういう問題に対する過去の経験によって違って来ます。普通の思考の人で、昔、確率の問題も高校で学んだという人だと、独立でないと思う可能性がかなり高いです。
　　３）もっと簡単に独立であることを示す方法は、１）の答えが、「間違いだ」ということと関係しています。

　　１）の答えが間違いだというのは、「考察」で、「箱」を導入しているからです。各箱が「独立である」と明示されていません。つまり、一つの箱に玉を入れると、袋を揺らすと、箱の底が繋がっていて、中の玉が、色に応じて、箱のなかにかくしてある予備の玉に置き換わるなどということは一切ない、ただの独立した箱で、なかに入れた玉には影響を及ぼさないという断りがありません。現実の箱は壊れていたり、底が抜けて、玉が出入りしたりする可能性もあるのです。箱から玉を取り出そうとすると、底の穴から玉が出ていて、箱のなかには一個もないという場合は、どうなるでしょうか。

　　どうしてこういうことを言うかと言いますと、ある新しい条件を設定すると、その条件についても、問題としている事象に影響を及ぼさないという断りを入れないと、「現実の箱」を考えると、壊れているという可能性などがあるのです。だから、余計な状況設定をすると、その状況設定で、問題が影響を受けないという具体的か理論的な断りを入れないと、何も言わない場合、「現実の箱」を考えてしまうのです。

　　コインを投げる場合も、理論的要請で、表と裏がでる確率が同一と、断っています。この断りがないと、「具体的コイン」は、必ず僅かな偏りがあることになります。こういうコインは実は存在しないはずです（つまり、完全にコインの表と裏で、分子配置とかが対称になっているコインは現実にはありません。対称でないと、ごくごく僅かでも、重心がどちらかの面に偏ります。またコインを現実に製造する途上で、偏りが必ず出てきます）。考えているのは、理論コインです。

　　同様に、箱を出す時は、理論箱にしないといけません。

　　もっと簡単な方法は、袋を大きく開いて、なかが見えるようにし、袋の底を平面のようにします。コインを投げて、赤か白が決まったら、絶対に間違いを犯さないという理論ロボットに玉を渡し、玉の色をカードに書いて、伏せた状態で、袋の底の平面に、第一の位置として置きます。順次、第一の位置の右に第二の位置を決め、第二の位置の右に第三の位置を決めて、そこにカードを伏せて、ロボットが置きます。位置も間隔が２ｃｍで、袋は動かさず、この第一……第三の位置も変化しません。

　　こういう手順を一切知らない人を呼んで来て、三つのカードのどれかを開いてもらいます。赤とカードに書いてあれば、その人には部屋から出て貰い、その人にはまったく分からないように、同じことをして、また部屋に入ってもらい、カードを開いてもらいます。最初に開いたカードが白の時、では、他の二枚には、赤か白か、どちらの文字が書かれているか、実験手順を説明して、その人に確率を尋ねます。

　　理論ロボットとか、もう一人の人というのは、実は、余計なものとも言え、貴方一人で全部やっても良いわけです。すると、三回のなかで、一度も白が出なかった場合は分かりますから、この時は、やりなおしです。残り二枚のカードに、赤とあるか白とあるか、貴方は知っている訳です。だから、カードは表にしてもよいのです。赤とか白とか書いてありますが、この色の文字はどうやって決めたのだろうと考えると、一回づつコインを投げて決めたのです。だから、赤か白かは、確率２分の１だということは自明で、コインを投げるのが、一回一回独立しているのなら、カードに記載した内容が赤か白かも、カードごとで独立しています。

　　このコインを投げる時、一回一回が独立というのも重要な条件です。理論的には偏りがないコインでも、投げる人の投げ方で、コインの表裏には影響が出ます。人間が投げていると、意識しないで、どちらかに決めて次のコインの出方に影響を与えている可能性があります。そんな細かいところまで普通考えませんが、厳密に言えば、投げる人の投げ方が、結果を知ると、幾らか変化します。また、具体的コインは、投げると、衝撃で、傷み、少しづつ偏りが出てきて、一回一回独立でなくなります。

お礼

もはや、「おっしゃる通りです・・・が・・・ねぇ」としか言いようがありません。
特に、問題を出題するほうの人間は、こういう細かいことをしっかり念頭におかないといけないですね。「偏りのない」コインというコメントすらない出題も横行してますからねぇ。
私はもともと工学部出なのと、どーしても学生時代に中学生を相手に数学を教えていたせいもあり、目に見えやすい考え方や俗っぽい説明に傾倒して、細かいところが抜け落ちていることが多いので、心したいと思っています。

・・・とはいえ、「箱」という言葉で設定するだけでじゅうぶんじゃないのかなぁと、やっぱり思ってしまう次第です。教えに沿ってなくてすみません。^^;

回答No.1

stomachman

kony0さんって、先生？　一応教育的見地、って方向で考えてみました。

１．上の考察は正しいですか？　＜　鋭くも正しい考察であると思います。
２．この問題って、見た瞬間に独立であることは明らかなんでしょうか？　＜いやいや、誰にとってもそうであるとは思いません。多分、
誤：「袋の中の白玉と赤玉の個数の期待値は等しい。そして１個の白玉を取り除いたのだから、残っている玉のひとつをランダムに取り出したとき、それは赤である確率が高い。」
という誤謬に陥りやすいですよね。

●律儀に計算するとこういうことになるでしょう。
コインを投げて、袋に入れる３個の玉の色を決めるプロセスは、袋の中身が
赤３個白０個になる確率　1/8
赤２個白１個になる確率　3/8
赤１個白２個になる確率　3/8
赤０個白３個になる確率　1/8
です。
　言い換えれば、８つの袋を用意して
赤３個白０個が入っている袋　1つ 袋#0
赤２個白１個が入っている袋　3つ 袋#1～#3
赤１個白２個が入っている袋　3つ 袋#4～#6
赤０個白３個が入っている袋　1つ 袋#7
を作り、そしてその内の一つの袋を無作為に選んだ、と考えても全く同じです。

　さて、選んだ袋からランダムに１個玉を取り出したところ白だった。
この白玉は8つの袋に入っている12個の白玉のうちのどれかです。従ってその同じ袋に、
・もう白玉が入っていない。つまり袋#1～#3を選んだ確率はそれぞれ 1/12
・あと１個の白玉が入っている。つまり袋#4～#6を選んだ確率はそれぞれ 2/12
・あと２個の白玉が入っている。つまり袋#7を選んだ確率は、3/12
です。つまり、
・袋#1～#3のどれかを選んだ確率は 3×1/12 = 3/12
・袋#4～#6のどれかを選んだ確率は 3×2/12 = 6/12
・袋#7を選んだ確率は、3/12
ですね。

　そういう状況に於いて、同じ袋からさらにもう１個の玉をランダムに取り出したとき、これが白玉である確率は、
・もし袋#1～#3のどれかを選んでいたのなら、0
・もし袋#4～#6のどれかを選んでいたのなら、1/2
・もし袋#7を選んでいたのなら、1
ですから、
3/12×1 + 6/12×1/2 + 3/12×0 = 1/2

この面倒な計算を、「１つめの玉と２つめの玉の色は互いに独立である」で片づけるんですから、エレガントな解法ですね。

●ちょいと変形してこういう問題では如何でしょうか。
・袋#0には赤玉２個
・袋#1には赤玉と白玉１個ずつ
・袋#2には白玉２個
が入っている。袋を一つ選んで、玉をランダムに１個取り出したら白だった。
　この白玉は3つの袋に入っている3個の白玉のうちのどれかです。従ってその同じ袋に、
・もう白玉が入っていない。つまり袋#1を選んだ確率は 1/3
・あと１個の白玉が入っている。つまり袋#2を選んだ確率は 2/3
です。　そういう状況に於いて、同じ袋からさらにもう１個の玉をランダムに取り出したとき、これが白玉である確率は、
・もし袋#1を選んでいたのなら、0
・もし袋#2を選んでいたのなら、1
ですから、
1/3×0 + 2/3×1 = 2/3
です。この変形した問題では「１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立である」とは言えません。

　でももし、赤玉と白玉１個ずつ入っている袋を（１つではなく）２つ用意すれば、kony0さんの論法が使えて「１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立である」と言えるし、実際答は1/2になります。
　つまり、「１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立である」と言えるためには、入っている白玉の個数が0,1,2,...であるような袋の数の分布を、コイン投げで生成したことが本質的に重要ですよね。袋じゃなく、コインが重要。ここの所の事情を詳しく検討して見せないと、「袋入りの赤玉白玉？なら、１つめの玉と２つめの玉の色は互いに独立なんだな」って、誤ったショートカットを憶えてしまう危険がありそうです。

３．表が赤、裏が白の偏りのないコインを投げる操作を繰り返す。
1,2,3の数字をランダムに選びこれをnとする。n回目のトスで白が出る確率は？
1,2,3のうちn以外の数字をランダムに選びこれをmとする。m回目のトスで白が出る確率は？
m回目のトスで白が出る確率は、n回目のトスで白が出る確率と関係があるか？

ってんで如何でしょう？

お礼

いやいや、先生でもないですし、教職でも研究職でもないんですが、
ちょいと確率の知識が必要な職業でして・・・

で、ものすごーく頭のいい先輩に、「この問題って感覚的に明らかよね？」って言われて・・・「えぇそうなんですか？」てな感じだったので質問させてもらった、というわけです。

ちょいともう仕事にいかないといけないですんで、今週のどこかで、前の質問のパワフル計算もあわせて、じっくり読まさせていただきます。

本当、今般の質問では、大変お世話になっております。