恒等式の特質について

質問

xf(x)=ax^2 + bx
⇔f(x)=ax+b
というようにx=0の場合分けを考えずに普通にxで割れるのはどうしてでしょうか。
恒等式のテーマのところでも同じような場面が出てきた覚えがあるのですが。よろしくお願いします。

回答No.9

stomachman · ベストアンサー

No.8のコメントについてです。

> なぜxで割れるのでしょうか。

　これは題意（No.2のコメントに書いてある）とは異なる仮定の下での話であることをまず思い出しておきましょう。つまり「f(x)が至る所微分可能」だと勝手に仮定を追加したらどうなるか、を検討した部分でした。

　この時にも厳密には、やはりx=0とx≠0とを場合分けして扱っているんです。
(x^2)f'(x) = (60x^2-4bx+3c)(x^2)
から
f'(x) = (60x^2-4bx+3c)
を導く。これは形式的には両辺を(x^2)で割った、ということですけど、実は
x≠0のとき…両辺を(x^2)で割った
x=0のとき…両辺を(x^2)で割ることはそもそも禁止されており、f'(0)は決まらない。

でも、f(x)が至る所微分可能、f'(x)が連続であるという条件がついていれば、x=0であっても
f'(x) = (60x^2-4bx+3c)
が成り立つ。そうでないとx=0においてf(x)が微分不能になるからです。
　かくて、結果として形式的に(x=0の場合を区別せずに）両辺を(x^2)で割った結果と一致したという訳です。

> すいません、何回同じこと聞くんだとお叱りを受けそうで

と～んでもない。「なんで一発で分かるように回答しないんだ！」ってお叱りを受けるのはこちらの方です。質問者はエバってて良いと思いますぞ。

お礼

＞でも、f(x)が至る所微分可能、f'(x)が連続であるという条件がついていれば、x=0であっても
f'(x) = (60x^2-4bx+3c)

stomachmanさんこんにちは。な、なるほど、ようやく分かりました。「微分可能かどうか」という議論に触れたことがなかったので、そういうことはたいして気にしていなかったのですが、ここではそれがネックだったのですね。

単純なところに答えがあるのかなと思ってましたが、
結構深いところまで考えなくちゃならなかったんですね。
考えれば考えるほどいろいろな方向に広がっていくんですね。どうも長い間おつきあいしてくださってありがとうございました。

回答No.8

stomachman

No.3のコメントについてです。

> これはx=0の場合があるからなのでしょうか。
その通りです。

>「f(x)は多項式である」という条件をつけるとx=0のとき
> f(x) = c（定数） というのと矛盾してx=0のときは不適となり
> 除外されると言うことですよね。
その通りです。

>　2∫(1→x){tf(t) dt} = x^2・f(x) - 12x^5 + bx^4 - cx^3 + d で
>　f(x)がx=1で極大値20をもちx=2で極小値をもつように、定数b,c,dの値を求めよ

No.2のコメントは見逃してました。ごめんなさい。問題の式の両辺をそれぞれ
S(x) = 2∫(1→x){tf(t) dt}
U(x) = x^2・f(x) - 12x^5 + bx^4 - cx^3 + d
と書くことにしましょう。
　f(x)が至る所微分可能であることを仮定すると、両辺をxで微分して整理し、
(x^2)f'(x) = (60x^2-4bx+3c)(x^2)
という微分方程式が得られます。f(x)は多項式に限らず、至る所微分可能であれば「x=0のときだけ特別」という訳には行かないから、
∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
は成り立ちますし、上記の微分方程式の両辺をx^2で割っても大丈夫。
f'(x) = 60x^2-4bx+3c
ゆえに
f(x) = 20x^3-2bx^2+3cx+C
を得ます。これをS,Uに代入してみると
S(x) = 8x^5-bx^4+2cx^3+Cx^2-(8-b+2c+C)
U(x) = 8x^5-bx^4+2cx^3+Cx^2 + d
となるので、
d = -(8-b+2c+C)
であり、題意を満たすようにb,c,dを決めることができます。

　しかしf(x)が「x=gのときだけ特別（gは定数）」という関数だったらどうでしょうか。
　ここで、f(g)が（有限であれば）幾らであろうと積分S(x)には全く影響を与えません。だからやっぱり
S(x) = 2∫(1→x){t(20t^3-2bt^2+3ct+C)dt}
= 8x^5-bx^4+2cx^3+Cx^2-(8-b+2c+C)
です。ゆえに、f(g)だけが飛び抜けた変な値ですと
S(g)≠U(g)
となります。しかし例外があります。もしg=0であれば、f(g)が（有限であれば）幾らであろうとU(0)=dなので、
S(0)=U(0)
が成り立ちます。
　以上から、「f(0)だけは特別」という場合であっても、x=0を除外すれば良い。つまり
∀x(x≠0→f(x)=20x^3-2bx^2+3cx+C)
が成り立ち、「f(x)がx=1で極大値20をもちx=2で極小値をもつように、定数b,c,dの値を」定めることができます。その答はもちろん、「f(0)は特別じゃない」と考えて求めたものと一致します。（でも仮に、問題がたとえば「f(x)がx=0で極大値20をもちx=2で極小値をもつように、定数b,c,dの値を」というのだったら、「不定」が答になりますね。）

　さて、f(x)がもっとずっとへんてこな関数だったらどうでしょう。
たとえば
f(x) = xが有理数のときはh(x)、無理数の時は20x^3-2bx^2+3cx+C
という関数です。これは至る所微分不能ですが、積分はできる。そして
S(x) = 8x^5-bx^4+2cx^3+Cx^2-(8-b+2c+C)
となります。
U(x) = x^2・f(x) - 12x^5 + bx^4 - cx^3 + d
がS(x)と（ xが有理数でも無理数でも）一致するようなh(x)を見つけられるでしょうか。検討してみると、結局x=0の時を除いては
h(x) = 20x^3-2bx^2+3cx+C
でなくてはならないことが分かります。

以上のように、f(x)が多項式だと仮定する必要などありません。

お礼

stomachmanさんこんにちは。なんどもお返事していただいて本当にどうもありがとうございます。ちょっとまだ分からないところがあるのでもう一度お願いできますでしょうか。すいません、理解力がないもので。

＞∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
は成り立ちますし、上記の微分方程式の両辺をx^2で割っても大丈夫。

上の式と同様、任意のxで上の式が成り立つというのがそもそも恒等式の意味ですよね。そうするとx≠0という制限もつかないはずなのになぜxで割れるのでしょうか。すいません、何回同じこと聞くんだとお叱りを受けそうで大変恐縮なのですが、これはどう考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.7

zzzzzz

失礼。問題はf'に関することでしたね。fとf'を混同していました。
> どうやらfには微分可能性が仮定されているようですので
f'に連続性が仮定されていないと意味がありませんね。すみません。

>さらにfが連続であることが分かっていますので、
誤りです。(1)のみを考えるときには
「fが連続であることが分かっていれば」
問題自体を考えるときには
「題意から、f'の連続性は仮定されていると思われる。もし仮定されているならば」
と読み替えてください。

回答No.6

zzzzzz

> stomachmanさん
お互いに勘違いがあるようなので。
私は、質問者のs-wordさんの知りたいことが、
「恒等式のところで出た論法と同様にして、ということなのでしょうか？」
という意味だと解釈したため、下記のような回答をしました。
つまり、「恒等式の問題なのかそうでないのかをはっきりさせないと判断できません」と回答したつもりです。
それに対し、stomachmanさんは質問の内容を
「恒等式の範囲でこの論法は正しいのですか？」
というように解釈して下(#5まで)のように回答されたのだと思います。
#4に書いたことは確かにfの連続性を仮定しての話なので「言えます」と断言したのはまずい、と思われたのかもしれませんが。
仮定を省略して不明瞭な書き方をしたことについては謝ります。
（定義云々の話は売り言葉に買い言葉、と解釈させていただいて省略します）

s-wordさんの意図もはっきりしましたし、それに沿った記述をしていきたいと思います。

>#5の(1)について
私はこの式を真だと書き、stomachmanさんは偽と書いています。
これはfに関する仮定の問題で、確かにfを単に写像として考えれば偽です。
が、fが連続であることを仮定すれば、x≠0でf(x)=ax+bとなりますから、x→0としてx=0でもf(x)=ax+bとなります。私はこの意味で「成り立つ」と書きました。
どうやらfには微分可能性が仮定されているようですので、この命題は真になります。

>#5の(2)について
私がこの式を挙げたのは、「別に恒等式の話に限っているわけではないのでは？」と考えたからです。
もちろん(1)と(2)は別物で、この命題は(a,bに何らかの仮定がないならば)偽です。
皮肉じみた記述をしてすみませんでした。

>> このように論じるなら「xが固定されているのか」をきちんと考えなければだめです。
>と仰ってます。 「xが固定されている」というのがどういう意味だか不明ですが、
>∀x(f(x)=ax+b)
>とは 「f(x)=ax+bがどんなxについても成り立つ」つまり「f(x)=ax+bは恒等式である」という意味です。
「この」の指す場所が違います。「本当に∀xを考えて良いのか」という意味で書いていますので、この回答の最初に書いた認識の違いに起因する記述と思われます。

-------------------------------------------------------------------
以下、s-wordさんへの記述です。
>＞この環は整域であり、xは零元ではありませんので、上の２式は同値になります。
>
>ここがちょっとよくわからないのですが。なぜxは0でないといえるのでしょうか。
実数上の多項式限定の話の場合を書いたつもりでしたので、「多項式環」というものを使って書きました。
多項式の、恒等式としての等号と、「多項式環」上の等号が同一視できる、というものなので使用したのですが、
この場合、質問のレベルから離れています。すみませんでした。
（xが0でないと言えるのではなく、多項式環ではxは不定元とよばれる１つの数なのです。なので0ではありません。）
（この話は理解できなくても支障はないと思われます）

さて、質問の内容ですが、補足から、fが微分可能、従って連続であることが分かりました。
従って、#5(1)の命題、
∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
が真になります。
右辺を仮定すれば左辺は明らかなので、左辺を仮定して右辺を示します。
x≠0ならばf(x)=ax+b、となるのはすぐに分かります。
さらにfが連続であることが分かっていますので、
f(0) = lim_{x→0} f(x) = lim_{x→0} (ax+b) = b
が分かります。これより、x=0の場合もf(x)=ax+bを満たしていることが分かり、右辺が言えました。

略解はこの議論を省略しているものと思われます。

お礼

zzzzzzさんこんにちは。何度も寄っていただいてどうもありがとうございます。何度も詳しい解説をしていただき苦手な私にも分かることができました。とってもわかりやすかったです。長い間どうもありがとうございました！！

回答No.5

stomachman

No.4の
> それを言うなら∀x(xf(x)=ax^2 + bx ⇔ f(x)=ax+b)は言えない、ですね。
は変ですね。

　論理式について、s-wordさんが混乱しないように解説します。
　stomachmanが書いたのは
(1) ∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
すなわち
(xf(x)=ax^2 + bxがどんなxについても成り立つ)⇔ (f(x)=ax+bがどんなxについても成り立つ)
という、質問の主旨に沿った論理式です。（そして(1)は偽です。）。一方zzzzzzさんの書いた論理式
(2) ∀x(xf(x)=ax^2 + bx ⇔ f(x)=ax+b)
すなわち
どんなxについても((xがxf(x)=ax^2 + bxを満たす)⇔(xがf(x)=ax+bを満たす))
は、言い換えれば「方程式xf(x)=ax^2 + bxの解の集合は、方程式f(x)=ax+bの解の集合と一致する」という意味です。(1)(2)は別ものです。
たとえば
∀x (1=x^2 ⇔ 1=|x|)
は(2)と同類の論理式であり、1=x^2や1=|x|が恒等式だという意味など（もちろん）含まれていません。

また、zzzzzzさんは
> このように論じるなら「xが固定されているのか」をきちんと考えなければだめです。
と仰ってます。 「xが固定されている」というのがどういう意味だか不明ですが、
∀x(f(x)=ax+b)
とは 「f(x)=ax+bがどんなxについても成り立つ」つまり「f(x)=ax+bは恒等式である」という意味です。

さらに、zzzzzzさんの仰るには
> そもそも考える代数系を限定しないと意味が通りませんが。
> （実数体なのか多項式環なのかその局所化なのかetc）

　そういうレベルの質問でないことは自明かと思いますが、うるさく言えばそりゃその通りです。折角なのでもう少しつっこんでみましょう。
　もっと厳密な形に書けば、ご質問は「
∀f(f∈F⇒
　　∀a∀b((a∈C∧b∈C)⇒
　　　∀x(x∈C⇒xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(x∈C⇒f(x)=ax+b))))
が成り立つかどうか？」
となります。Cはxが動ける範囲です。ご質問の場合、Cは複素数、実数、或いは整数などだろうと思いますけれど、もっと別の集合、たとえばC={x|xは無理数｝であっても構わない訳です。
　Fはfとして考える対象の範囲です。これが多項式の集合であっても、或いはもっと別の関数の集合であっても良く、実数体や多項式環に限定する必要はありませんが、少なくとも
∀f(f∈F→fはCからCへの関数である)
という条件を満たしていなくては意味がありません。

　さらに厳密なことを言うのなら、右辺の足し算,かけ算,冪の意味も定義しておかねば、そもそも話になりません。
　もちろん、s-wordさんがご質問なさった主旨がそんな所にないのは明らかですから、敢えて申し上げなかったわけですが。

回答No.4

zzzzzz

> ∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
> とは言えません。
それを言うなら∀x(xf(x)=ax^2 + bx ⇔ f(x)=ax+b)は言えない、ですね。
∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)は言えます。
このように論じるなら「xが固定されているのか」をきちんと考えなければだめです。
そもそも考える代数系を限定しないと意味が通りませんが。
（実数体なのか多項式環なのかその局所化なのかetc）

回答No.3

stomachman

x≠0のときf(x) = ax + b, x=0のときf(x) = c （cは適当な定数、たとえばb+1）
なんて関数f(x)を考えると、
∀x(xf(x) = ax^2 + bx)
を確かに満たしています。（∀xってのは「どんなxについても」って意味です。）だから、
∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
とは言えません。

　しかし「f(x)は多項式である」という条件を付けるんなら大丈夫で、
(f(x)は多項式でありかつ∀x(xf(x)=ax^2 + bx ))⇔∀x(f(x)=ax+b)
と言えます。「xの範囲」というより「fの範囲」の問題です。

お礼

stomachmanさんこんにちは。すいません、少し分からないところがあるのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。

＞∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b)
とは言えません。

これはx=0の場合があるからなのでしょうか。

＞しかし「f(x)は多項式である」という条件を付けるんなら大丈夫で・・・

「f(x)は多項式である」という条件をつけるとx=0のときf(x) = c（定数） というのと矛盾してx=0のときは不適となり除外されると言うことですよね。
問題の2∫(1→x){tf(t) dt} = x^2・f(x) - 12x^5 + bx^4 - cx^3 + d の場合x=0のときも不適といえないと思うのですが。それと多項式という条件も書かれていませんでした。すいませんこの式に関してはNO,2のお礼のところを見ていただければ幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

zzzzzz

問題をどの代数系で考えているかをはっきりさせないと意味がありません。
実数の範囲で考え、xを任意の実数、と考えているならば、その２つは確かに同値ではありません(x≠0という前提が必要)。
しかし、実数上の多項式環の範囲で考え、xを不定元、と考えているならば(「恒等式」として考えているならば)、
この環は整域であり、xは零元ではありませんので、上の２式は同値になります。

つまり、「xをどういうものとして考えているのか」を明示しないとこの式の正誤は判断できません。

お礼

zzzzzzさんこんにちは。「恒等式」として考えているのですがその場合xは任意の実数とは限らないのでしょうか。

＞この環は整域であり、xは零元ではありませんので、上の２式は同値になります。

ここがちょっとよくわからないのですが。なぜxは0でないといえるのでしょうか。

実を申しますと質問のところに書いた式は私がでたらめに作ってしまった式なので問題の途中経過を書いておきます。（いまさらですいません。。。）

2∫(1→x){tf(t) dt} = x^2・f(x) - 12x^5 + bx^4 - cx^3 + d でf(x)がx=1で極大値20をもちx=2で極小値をもつように、定数b,c,dの値を求めよ

「（解答）xで微分すすると
2x・f(x) = 2x・f(x) + x^2・f'(x) - 60x^4 + 4bx^3 - 3cx^2
⇔x^2・f'(x) = 60x^4 - 4bx^3 + 3cx^2
x^2で割ると
⇔f'(x) = 60x^2 - 4bx + 3c・・・・」

ちなみに60x^2 - 4bx のように書かれている場合は60x^2 という項と- 4bxという項があるということであり、スペースをいれてあるのでつながっているというわけではありません。

回答No.1

zabuzaburo

もっと単純化してみましょう。
「ax = bx」という等式があるとします。
これ自体が成り立つのは
「a = b または x = 0」のときです。
しかし、この等式がxについての恒等式であるためには、
「a = b」であることが必要十分ですね。

ご質問に含まれる本質的な疑問点は
上の例で考えても全く同じです。
これを使ってもう一度考えてみませんか。

お礼

＞もっと単純化してみましょう。
「ax = bx」という等式があるとします。
これ自体が成り立つのは
「a = b または x = 0」のときです。
しかし、この等式がxについての恒等式であるためには、
「a = b」であることが必要十分ですね。

zabuzaburoさんお返事どうもありがとうございます。これは恒等式のxの係数どうしが等しいということですよね。本には「xで割ると・・・」みたいなことがはっきりと書かれていたのでどのように結びつくのかちょっとよく分かりません。すいません、もうちょっとヒントお願いできますか。