極座標での上端・下端の求め方は?
- 質問文章では、極座標を使用して体積を求める問題が提示されています。
- 具体的には、第一象限での曲線 r=2sin2θ の内部で下に閉じ込められる領域と、曲面 z=yx^3+xy^3 の上に閉じ込められる領域の体積を求める問題です。
- 解法としては、積分を行う際に極座標の変換を行い、適切な積分区間を決定します。具体的な積分区間は解答に示されています。
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極座標での上端・下端の求め方は?
こんにちは。 [問] Use polar coodinates to find the volume of the region bounded below by the interior the curve r=2sin2θ in the first quadrant,and bounded above by the surface z=yx^3+xy^3. という問題です。意味は 「第一象限でのr=2sin2θの内部で下の閉じ込められる領域と曲z=yx^3+xy^3の上に閉じ込められる領域の体積を極座標を使って求めよ。」 つまり、r=2sin2θは閉曲線で曲面z=yx^3+xy^3をz軸の正方向からxy平面に向かってr=2sin2θで切り抜いた立体(つまり、柱)の体積を求めよ。という事だと思います。 解答は私なりに ∫∫(R,yx^3+xy^3)dydx=∫∫(R,xy(x^2+y^2))dydx (但し、Rはr=2sin2θの内部) =∫∫(R,rcosθ・rsinθ・r^2・rdrdθ) (∵x=rcosθ,y=rsinθ,dydx=rdrdθより) =∫∫(R,r^5cosθsinθ)drdθ そして、rの区間は最小が0、最大で2なので0≦r≦2, θの区間はθからπ/2で一周するので0≦θ≦π/2 =∫{θ=0 to θ=π/2,∫(r=0 to r=π/2,r^5cosθsinθ)dr}dθ と考えたのですが後ろの解答には ∫∫(R,r^5cosθsinθ)drdθ =∫{θ=0 to θ=π/2,∫(r=0 to r=2sin2θ,r^5cosθsinθ)dr}dθ =254/105 という式が書かれてます。私のとrの上端が異なってます。 積分区間の上端・下端はどうやって求めるのでしょうか? 最大・最小の所ではダメなのでしょうか?
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>そして、rの区間は最小が0、最大で2なので0≦r≦2, これは、θを動かした時の最小値最大値ですよね。 ∫(∫f(r,θ)dr)dθ のように1変数ずつの積分に書き直す場合、 rの積分範囲は、θを固定した時にrのとりうる範囲です。 >=∫{θ=0 to θ=π/2,∫(r=0 to r=π/2,r^5cosθsinθ)dr}dθ これでは(rの上端は2の誤植として)、半径2の円(の第1象限)上の積分になってしまいます。 ※極座標で、(r=0,θ),(r=2,θ)と表わされる2点を結んでできる線分を、θ=0からπ/2まで回転させた時に得られる図形です。 この積分領域は問題で問われている積分領域Rとは違う図形ですよね。
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