ベクトル。

質問

空間内に点A(1,2,3)がある。

(1)x軸と直交し、z軸の正の向きとの成す角が45°であり、y成分が正である単位ベクトル→tを求めよ。

(2)Oを原点とし、→t=→OTとなるように点Tを定め、直線OT上にOと異なる点Pをとる。
OP⊥APである時、Pの座標を求めよ。

(1)の回答が　→t=(0,√2/2,√2/2)
(2)が　(0,5/2,5/2)
となることは分かっているのですが、それぞれの解き方が全く分かりません。
よろしくお願い致します。

回答No.3

starflora · ベストアンサー

１）ヴェクトルｔを、(x,y,z) で表します。

　　まず、ｔは、原点Ｏから延びるヴェクトルです。そして、ｘ軸と直交ということは、ｔは、ｙｚ平面にあるということになります。従って x＝0。
　　ｚ軸の正の向きに単位ヴェクトル (0,0,1) を考えます。
　　すると、ｚ軸の正の向きと成す角度が４５度ということは、内積で考えて：
　　(x,y,z)/*/(0,0,1)＝z＝1*1*cos(45)＝cos(45)＝(√2)/2
　　ｔは単位ヴェクトルですから、その長さの絶対値は、１で、
　　成分で表示すると、x^2+y^2+z^2＝1　です。
　　x=0, z=(√2)/2 を代入すると：
　　0+y^2+1/2=1 → y^2=1/2 → y=+/-(√2)/2
　　ここで、y>0 という条件から、y の＋の方がその値で：
　　→　ｔ＝（０，(√2)/2)，(√2)/2）

　　２）Ｔ＝ＯＴで、ＯＴ上に点Ｐを取って、ヴェクトルＯＰを考えるということは、ヴェクトルＯＰ＝k(0,(√2)/2),(√2)/2) ここで、k は１未満のある数です。無論、０ではないです。

　　そこで、OP⊥AP とは、OP と AP の内積がゼロになるということで、AP は、ＡからＰに延ばしたヴェクトルであるということは、ＡＰ＝Ｐ－Ａ
　　（注：この順序は重要です。ＡからＰの場合、Ｐ－Ａで、逆にＰからＡの場合、Ａ－Ｐとなります）。
　　ＡＰ＝Ｐ－Ａ＝k(0,(√2)/2),(√2)/2))－(1,2,3)＝(-1,(k√2/2)-2,(k√2/2)-3)
　　ＯＰ/*/ＡＰ＝(0,(k√2)/2),(k√2)/2)/*/(-1,(k√2/2)-2,(k√2/2)-3)＝0
　　＝ k^2(1/2)-k√2＋k^2(1/2)-3k(√2)/2)＝0
　　＝ k^2-(5√2/2)k＝0
　　＝ k(k-5√2/2)＝0
　　k=0　ではないので、k=5√2/2
　　よって、
　　ＯＰ＝(5√2/2)*(0,(√2)/2),(√2)/2)
　　＝（０，5/2，5/2）

　　内積を示すため、記号として、/*/ を使いました。ここでの臨時の記号です。

回答No.2

chukanshi

t=(a,b,c)とします。tは単位ベクトルですから、|t|=1であり、
|t|=√(a^2+b^2+c^2)=1です。

(1)
x軸を表す単位ベクトルはx=(1,0,0)であり、これと直交するから、
x・t=|x||t|cos90°=0である。
x・t=a+0+0=a=0だから、まず、t=(0,b,c)となります。
次にz軸と成す角が45°であるから、Z=0,0,1)として、
z・t=|z||t|cos45°=√2/2（zとtは単位ベクトルだから）
z・t=cだから、c=√2/2である。よって、t=(0,b,√2/2)。
さらに、tが単位ベクトルだから、
0^2+b^2+(√2/2)^2=1で、b>0より、b=√2/2。
よって、t=(0,√2/2,√2/2)。（答え）

(2)
ベクトルOPは、ベクトルtのk倍となるから、
OP=k(0,√2/2,√2/2)。
AP=OP-OA=(-1,k√2/2-2,k√2/2-3)とあらわせる。
OP・AP=0（直交するから）だから、
-1*0+(k√2/2-2)*k√2/2+(k√2/2-3)*k√2/2=0
これを変形して、
k(k-5√2/2)=0となる。
OPはゼロベクトルではないから、k=5√2/2。
よって、
OP=5√2/2(0,√2/2,√2/2)
=(0,5/2,5/2)と求まる。（答え）

回答No.1

kony0

内積は考えました？