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円の切れ端の面積の計算方法を教えてください

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  • 質問No.241603
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お礼率 85% (274/322)

図が描けないのでなんとも説明が難しいのですが、円の切れ端の面積の
計算方法を教えてください。半径400mmの円があります。
その中心に直線を引くと半分の面積の計算は分かりますが、それでは中心から少しずれたところに水平の線を引いて(図でみた場合中心から少し上でも下でもいいですが)その面積の計算方法が分かりません。
何年か前に微分で求めるとかいうのをテレビでみたのですが、私は微分なんかに全く縁が(円が)ありません。しゃれてる場合じゃありませんが。
確か、誤差は限りなく0であるからどうのこうのと言ってました。
どなたかお分かりの方おりましたら、数学落ちこぼれに分かるような
説明をしていただけませんでしょうか。興味半分の質問ではなくて仕事で使います。どうぞよろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 37% (368/973)

エクセルの計算式で表すと

=400^2*ACOS(x/400)-x*SQRT(400^2-x^2)

です。x=100 の場合の計算結果は

172168.738 (mm2)

となりました。
お礼コメント
maamaa

お礼率 85% (274/322)

教えてもらう立場で贅沢言ってすみませんでした。
計算順序が間違っていたようで苦労しましたが、やっとエクセルの計算結果が一致しました。この式は大切に保管させていただきます。
どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-28 06:02:50
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1

考え方を一つ。 ずれた直線に平行で中心点を通る直線を引く。 ずれた直線の端と中心点を直線で結ぶ(2本) この図形を見ると、半円と扇形2つと二等辺三角形になりますよね? ココから答えは出せるのでは? ずれた直線の長さが解る場合のみこの方法で解けるのですけどね… ...続きを読む
考え方を一つ。
ずれた直線に平行で中心点を通る直線を引く。
ずれた直線の端と中心点を直線で結ぶ(2本)
この図形を見ると、半円と扇形2つと二等辺三角形になりますよね?
ココから答えは出せるのでは?
ずれた直線の長さが解る場合のみこの方法で解けるのですけどね…
お礼コメント
maamaa

お礼率 85% (274/322)

C_ranさん、びっくりしました。
この考えが浮かんでいたら私にも解けたはずで、ちょっと悔しいです。
昔習った「補助線を引いて・・・」というやつですね。
C_ranさんのヒントを元に、2つの扇方と半円の面積の合計を角度から求めて(角度/360)その値から二等辺三角形の面積を引いてもできそうです。
どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-27 04:09:32

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

C_ran さんの仰るように扇形から三角形を引き算するか あるいは積分を用いて求めると S = r^2 * Arccos(a/r) - a√(r^2 - a^2) となります。 ここで、r^2 は半径 r の2乗、a は円の中心と中心からずれたところにひいた直線の距離、 θ = Arccos(a/r)とすると cosθ = a/r です。
C_ran さんの仰るように扇形から三角形を引き算するか
あるいは積分を用いて求めると

S = r^2 * Arccos(a/r) - a√(r^2 - a^2)

となります。
ここで、r^2 は半径 r の2乗、a は円の中心と中心からずれたところにひいた直線の距離、
θ = Arccos(a/r)とすると cosθ = a/r です。
  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 37% (368/973)

円の中心からx(mm)離れたところに直線を引いた場合の面積は、 400^2・cos^-1(x/400)-x・√(400^2-x^2) (mm2) cos^-1はcosの逆関数(アークコサイン)のことです。 √は後ろの括弧全体にかかっています。 ^2は2乗のことです。 仕事で使われるということなので、この式に数値を当てはめて関数電卓などで計算できると思います。 ...続きを読む
円の中心からx(mm)離れたところに直線を引いた場合の面積は、

400^2・cos^-1(x/400)-x・√(400^2-x^2) (mm2)

cos^-1はcosの逆関数(アークコサイン)のことです。
√は後ろの括弧全体にかかっています。
^2は2乗のことです。

仕事で使われるということなので、この式に数値を当てはめて関数電卓などで計算できると思います。
補足コメント
maamaa

お礼率 85% (274/322)

MSZ006さんありがとうございます。
マシントラブルで返事が遅れましたことお詫びします。
エクセルで計算する場合、√はなにを使えばいいのでしょうか。
アークコサインは見つかりましたが√がわかりません。
お手数ですがよろしくお願いします。
100mm離れたところに線を引いた場合の答えも教えていただけると
大変助かります。
投稿日時 - 2002-03-27 03:25:28
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

下での回答の式に、r=400(mm)、a=100(mm) を代入すると、  S= 400^2・Arccos(100/400) - 100・√(400^2-100^2) (mm^2)   = 400^2・1.31811 - 100^2・√15   = 172168   ≒ 1.72×10^5 (mm^2) となりました。 有効桁数は 400(mm) などに合わせて3桁としています。 >エ ...続きを読む
下での回答の式に、r=400(mm)、a=100(mm) を代入すると、
 S= 400^2・Arccos(100/400) - 100・√(400^2-100^2) (mm^2)
  = 400^2・1.31811 - 100^2・√15
  = 172168
  ≒ 1.72×10^5 (mm^2)
となりました。
有効桁数は 400(mm) などに合わせて3桁としています。

>エクセルで計算する場合、√はなにを使えばいいのでしょうか。
私はエクセルは使わないので間違っているかもしれませんが、
sqrt ではないでしょうか?
お礼コメント
maamaa

お礼率 85% (274/322)

guiterさんどうもありがとうございました。
途中の計算方法も書いていただいて大変助かりました。
苦労しましたがお陰さまで計算結果が一致しました。
教えていただいた式は大切に保管します。
それにしても世間には頭のいい人がいるんですね。
家の馬鹿息子の家庭教師に迎えたいくらいです。
どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-28 06:38:44
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