簡単な問題だと思いますが。

質問

次の問題を解答用紙の書き方で解いて下さい。

＜問題１＞
-1≦ｘ≦1、かつ-1≦y≦1の範囲で、２XX（Xの二乗のこと）＋５YY（Yの二乗）－２XY－６Y－１の最大値、最小値を求めよ。

＜問題２＞
Xに関する方程式
(xx（Xの2乗）-2x＋a)2（←2乗）＋(xx－2x＋a)＋b=0
の異なる実数解はちょうど三個あり、すべて0≦x≦2の範囲にある。
このような実数a,bの条件を求めよ。

回答No.1

hikaru_mac · ベストアンサー

こんにちわ。hikaru_macです。
まず聞きたいのですが、あなたは、一応、自分で答えが出たけども、書き方が分からないのか、
答えが出ていないのか。

前者ならば、問題集とか、教科書の似た問題を探して、解答をじっくり眺めて精進すべし。

答えが出ていない、ならば、解答用紙の書き方うんぬんよりも、とりあえず、答えを正しい道筋で出す、理解することが先決です。

あなたは、どちらなのでしょうか？

とりあえず、この問題について、略解を思い付いたので記しておきます。

＜問題１＞
問題の式の値をkとおいて、（２XX＋５YY－２XY－６Y－１=k）これを変型すると、だ円の式になる。（変型しなくてもだ円の式だけど、変型すると分かりやすい。）中心座標と、半径（長軸の長さと短軸の長さ）を求めて、とりあえず、図を描いてみる。-1≦ｘ≦1、かつ-1≦y≦1のはんいで、このだ円がが存在できるようなkの範囲を求めて、その最大値と最小値が答えとなる。
最後の部分は自分でちょっと唸って考えて下さい。けっこう、難しい考え方です。
あと、別解としては、だ円の式をx→u,y→vに変換してu,v座標系で元の式が円の方程式になるようにすれば、解きやすくなるかも知れないが、これが分かる程ならだ円のままでも答えが出るかも知れない。

さらに別解：
問題の式をxで微分して、最大値、および、その最大値を取る時のxの値をyであらわして、最大値を今度はyで微分しても答えがでる（ような気がする）。x,yの変域に注意。

＜問題２＞
Y=xx－2x＋aとおき、元の式を書き換えると
Y^2+Y+b=0
これの解をα、βとすると、
元の四次方程式の解は
xx－2x＋a=α、xx－2x＋a=β
の解、よっつ。
四つのはずなのに「異なる実数解はちょうど三個」ってことは、なにかがだぶってるってこと。
ところで、実数係数の方程式の解は、共役複素数やらなんやらのへんのことでしってるとおもうけど、虚数の解は二つづつあるはず、ってことで、今回は虚数解はなし。（解はおおくて全部で四つだが、そのうち三つは実数解であることが分かっているので）
けっきょく、αもβも実数である。（そうでないと、「異なる実数解はちょうど三個」にならない）
また、αとβが同じ値なら異なる解は二つ以下になってしまうので
αとβは異なる値。
ということで、結局、
xx－2x＋a=α（式１）、xx－2x＋a=β（式２）の解は「異なる実数解はちょうど三個」にな
る。んで、α≠β

この状態をおちついてかんがえると
イ）式１は異なる解を二つ持ち、式２は重解を持ち、これらは一致しない。
ロ）式１と式２は両方、異なる解を二つづつ持つ（判別式＞０）が、同じ解が一つある。

このようにして、条件を設定すると、とけるんじゃぁないでしょうか？

※「～の二乗」は「～＾2」と書きます。
例）x^2
[^]はキーボードの数字の行の0から三つ右にあります。

※　解答の書き方は、論理の順番で書いていけば、いいと思います。
自分で書いてみて、それを採点してもらうと良いと思います。
見本がみたいなら、他の問題（類題や例題）の解答をじっくり読むなどしましょう。
それでもだめだ～ってときは、また、この掲示板に相談お書き込みをしたらいかがでしょうか。

回答No.2

noname#9538

(1)最小値 ー3 最大値 14
(2)0＜b<1/4 かつ a=1/2-sqrt{1/4-b}