正六角形の頂点に番号をつける確率と余事象
- 正六角形の頂点に1から6までの番号を順につけ、n個のさいころを振り出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものがある。このとき、しるしのついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率をPnとする。P3，P4を求める方法や、Pnを求める方法について考える。
- Pnを求めるためには、余事象(1-Pn)に注目することでよりスマートに考えられる。しかし、余事象にも複数の現象パターンがあり、計算が複雑になるため、パニックになりがち。どのように考えればスマートに解けるのかについてアドバイスを求める。
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確率、事象
正六角形の頂点に1から6までの番号を順につける。 またn個のさいころを振り、出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする。このとき、しるしのついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率をPnとする。 (1)P3，P4を求めよ。 (2)Pnを求めよ。 真っ当にPnを求めようとすると相当複雑に現象を追わなくてはいけないと考えて、余事象(1-Pn)について考えていくことにしました。ただ、(1-Pn)にもいくつか現象パターンがあり、一筋縄ではいかなくて、パニックになってしまいました。 どのように考えていけば、スマートに考えられるのでしょうか？教えていただけたら幸いです。
- highedge
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仮に正三角形の頂点の一つを１、順に隣から２、３、…６とするとき、異なる三点を取ってそれが直角三角形になるのは「１・４」「２・５」「３・６」の組み合わせがある場合です 故に、４つ以上の頂点に印をつけたら問答無用で直角三角形が存在することになるので、やはり余事象でいいと思います 直角三角形が存在しない場合は… ・印が一つにのみ付く 全サイコロの出目が同じ→６通り ・印が二つにだけ付く ６Ｃ２（２＾ｎ－２）＝１５・２＾ｎ－３０通り（Ａとする） ・印が三つに付く この場合、可となる組み合わせは「１・２・３」「２・３・４」「３・４・５」「４・５・６」「１・５・６」「１・２・６・」「１・３・５」「２・４・６」の８パターン ８（３＾ｎ－３－３Ｃ１（２＾ｎ－２）） ＝８・３＾ｎ－２４・２＾ｎ＋２４通り（Ｂとする） 分母は６＾ｎなので １－Ｐｎ＝（Ａ＋Ｂ＋６）／６＾ｎ 故に１－Ｐｎ＝（８・３＾ｎ－９・２＾ｎ）／６＾ｎ Ｐｎ＝１－（８・３＾ｎ－９・２＾ｎ）／６＾ｎ となりましたが…
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