回帰分析の時に対数をとる意味は？

質問

現在、計量経済学の授業で、
回帰分析、最小二乗法について勉強しているのですが、
たまに先生がデータの対数をとって回帰分析をするのですが、
どうして対数をとるのかよくわからないんです。

一応、弾力性を一定とする時や、非線形の関数を
線形にする時に使うらしいことまでは、
わかっているのですが
（でも、それすら怪しいです。間違っていたら訂正してください…）

どうして、対数をとるとそのようなことができるのか
よくわからないんです。

ご存知の方がいらっしゃれば、アドバイスお願いします。
参考書籍・参考サイト等の紹介でもかまいません。

回答No.3

KyotoSanga794 · ベストアンサー

追加の質問の件ですが，ある回帰式について，その説明変数でよいか，その関数形でよいか，ということを統計的に検証する手続きは，特定化の検定(specification test)として確立しています。

よく用いられる例が，Hausman検定やRamseyのRESET検定です。両者は，対立仮説などが異なるので，何を目的とするかで一長一短があり使い分けられます。

ただし，そうした検定はそれなりに難しい（大標本の検定なので，確率極限 plim の概念が必要）ので，学部の4単位くらいの内容ではそこまで至らないでしょう。学部の上級講義か，大学院の修士課程で学ぶ内容ですね。ちゃんとした教科書でも，かなり後の方に説明してある検定です。

ただ，対数をとったモデルと，とらないモデル，どちらの方が望ましいかというだけだったら，上の一般的な定式化の検定よりもずっと簡単な問題で，より簡単なBox-Cox変換で十分です。これだと，入門的な教科書でも手短かに書いてあるでしょう。

なお，その先生の説明を直接聞いたわけではないですが，「対数をとれば，どんな非線形の関係でも，線形回帰式として推定できる」と思われたのなら，誤解を招く説明ですね。

実際，対数をとるだけでは線形にならないような非線形の関係を推定する手法として，非線形最小2乗法とか一般化モーメント法(GMM)とかが用いられているんですからね。これらも，中級以上の教科書なら説明があるでしょう。

お礼

なるほど！検定方法がしっかりあるんですね。
ここからはしっかり自分で調べて見ます。
本当に丁寧な説明ありがとうございました。
ポイント発行します。

回答No.2

KyotoSanga794

1点目：
例えば，YのXに対する弾力性が一定である場合，YはXの1次関数では表せません。X,Y平面にその関係を書いてみればわかりますが，当然ながら，直線上にのりませんね。これが非線形の関係の一例です。

しかし，X,Yそれぞれの対数をとったものの関係は，先の回答の手順で，
logY=α+βlogX
と表されますよね。すると，logYとlogXの関係は1次式です。logX,logY平面（つまり両対数軸）にその関係を書くと，直線上に載ります。

これで，非線形の関係を線形の関係に変換できたわけです。

もちろん，どのような非線形の関係も，対数をとれば線形に直せるというわけではありません。そういう場合がある（弾力性が一定の関係の場合など）というだけです。

2点目：
ひじょーに丁寧に書けば以下のとおりです。
logY=α+βlogX
という関係がX,Yに成り立ったとしましょう。dlogY/dlogXを計算すると，当然ながらβですね。つまり，関数logY=α+βlogXは，dlogY/dlogX=βをつねに満たしています。整合的ということです。

なお，dlogY/dlogX=βを満たす関数が他にもないか，気になるかもしれません。それだと，対数を取った回帰式以外も考えなくてもなりませんので。

さて，dlogY/dlogX=βを満たす関数をすべて求めよという問題は，（最も簡単なタイプの）微分方程式を解くことといえます。この微分方程式の一般解は，両辺をlogXで積分することで，
logY=α+βlogX……(1)
αは任意の定数
となります。つまり(1)以外に解がないことも簡単に示せるわけです。

dlogY/dlogX=βを満たす関数は，すべて(1)のように表せるということです。そこで，(1)を推定すべき回帰式とすれば十分で，それ以外を考えなくてよいのです。

お礼

どうも、丁寧な説明ありがとうございました！
弾力性のところに関しては、しっかり理解できました！

あと、非線形関数に関してですが、
＞もちろん，どのような非線形の関係も，対数をとれば
＞線形に直せるというわけではありません。
＞そういう場合がある（弾力性が一定の関係の場合など）というだけです。
↑
ということは、データを分析する際には、
とりあえず、対数をとってみて、それで関係性がないか、
そういう場合に当てはまっているか、回帰分析で調べてみる
ということになるのでしょうか？
もし、そうなら、具体的にどのような形で
当てはまっているか確かめるのでしょうか？

どうも、授業で先生が片っ端から対数をとっていた
記憶があったので、その辺が疑問なのですが…。

分かる範囲で良いので、お返事いただけると幸いです。

回答No.1

KyotoSanga794

YのXに対する弾力性は，その定義により，
(dY/Y)/(dX/X)……(1)
ですよね。
一方，一般に対数関数logZ,(Z>0)の微分は，
dlogZ/dZ=1/Z
ですよね。これから，
dlogZ=dZ/Z
と書けますね。

すると，弾力性の表現(1)は，
(dY/Y)/(dX/X)=dlogY/dlogX
とかけますよね。
この弾力性が，一定の値βだということは，
dlogY/dlogX=β
この関係は，Yの対数をXの対数に回帰した式
logY=α+βlogX
と整合的なわけです。

以上が，弾力性が一定の関係をデータから推定しようとするときに，それぞれの変数の対数をとった回帰式を用いることになる理由です。

お礼

あー、なるほど！
弾力性のことに関してはかなりわかりました。
説明どうもありがとうございます。
あと、非線形の時に対数を使う理由とかはわかりますか？
わかったらでいいんで教えてもらえると助かるのですが…。

それと、
＞この弾力性が，一定の値βだということは，
＞dlogY/dlogX=β
＞この関係は，Yの対数をXの対数に回帰した式
＞logY=α+βlogX
＞と整合的なわけです。
↑
この部分なんですけど、「dlogY/dlogX=βがlogY=α+βlogXに整合」という部分がまだよくわからなかったので、
詳しく説明してもらえるとうれしいのですが…。

色々注文ばっかりつけて、すいません。
わかる範囲でいいので、もしよかったら教えてください。
（わからなかったら、そのまま放置してもらってかまいませんので）