九州大 ベクトルの問題です

質問

a→、ｂ→.ｃ→を空間内の単位ベクトルとし、任意の単位ベクトルｄ→に対して、（a→・ｄ→）＾２＋（ｂ→・ｄ→）＾２＋（ｃ→・ｄ→）＾２が一定の値ｋをとるとする。

（１）ｋを求めよ
（２）ｐ→＝ａ→＋２ｂ→＋３ｃ→の時、(a→・ｐ→）＾２＋（ｂ・ｐ）＾２＋（ｃ→・ｐ→）＾２の値を求めよ。

この問題の解答の意味がわかりませんでした！

解答：任意のベクトルｄ→に対して、
(a→・ｄ→）＾２＋（ｂ→・ｄ→）＾２＋（ｃ→・ｄ→）＾２＝ｋとする。
とくに、ｄ→＝ａ→１＋（ａ→・ｂ→）＾２＋（ａ→・ｃ→）＾２＝ｋ......(A)
∴ｋ≧１.......(B)

また、ｄ→がａ→、ｂ→に垂直な単位ベクトルのとき
（ｃ→・ｄ→）＾２＝ｋであり
ｃ→、ｄ→のなす角をΘとすると
ｋ＝（｜ｃ→｜｜ｄ→｜cosΘ）＾２＝cos＾２Θ
∴０≦ｋ≦１...... (C)
(B) と（C)より。　K=１（答）

質問です
ｄがa.bに垂直な単位ベクトルの時
どうして、（ｃ→・ｄ→）＾２＝ｋとなるのでしょうか？？

次は、ｃ、ｄのなす角をΘとすると～の先がわかりませんでした。内積の公式を使ったと思うのですが
どうして今回は二乗にしてるのでしょうか？？また、それによって、０≦ｋ≦１とｋの範囲が求まってる理由はなぜですか？？？＞＿＜　

（２）質問は下に書いた解答のある部分で、P=a+2b+3cの時、a・p=1...の部分がわかりませんでした。後は理解できたのですが、どうして、a・p=1なのですか、どこからこの関係を引っ張ってきたのでしょうか？？

解答（a→・ｄ→）＾２＋（ｂ→・ｄ→）＾２＋（ｃ→・ｄ→）＾２=１.... (D)
(A)でk=1より a・b=0 a・ｃ＝０
また（D)でｄ＝ｂの時を考えると　b・ｃ＝０
したがってP=a+2b+3cのとき
a・P=1 b・p=2 c・p=3
∴、(a→・p→）＾2+（ｂ・ｐ）＾2+（ｃ→・ｐ→）＾2=14

回答No.2

debut · ベストアンサー

１．dがa,bに垂直ならば、a・d=0,b・d=0なので、(a・d)^2+(b・d)^2+(c・d)^2=k
　　に代入すれば(c・d)^2=kです。

２．c,dのなす角をΘとすると、c・d=｜c｜｜d｜cosΘなので、これを上の
　　(c・d)^2=kの式に代入したのですね。
　　よって、(｜c｜｜d｜cosΘ)^2=k
　　｜c｜=｜d｜=1（単位ベクトル）だから、cos^2Θ=k。
　　cosΘは -1≦cosΘ≦1 を満たすので、cos^2Θは最も小さくて０であり
　　最も大きくて１です。よって、0≦k≦1となります。
　　（三角関数のcosのことを思い出してください。）

３．p=a+2b+3cのとき、
　　a・p=a・(a+2b+3c)=a・a+2a・b+3a・c　で、a・b=0,a・c=0なので結局この
　　式は a・p=a・a=｜a｜^2=1です。
　　同様に、b・p=b・(a+2b+3c)=a・b+2b・b+3b・c　で a・b=0,b・c=0から
　　b・p=2b・b=2｜b｜^2=2です。
　　c・pも同じようにして=3｜c｜^2=3となります。

お礼

返事遅くなってごめんなさい。　やっと理解できました。
単位円についてもういちど復習したら、最初の質問がわかりました。
３番目の質問はよく見たら気がつくことが出来ました。
すうがくって本当に難しいですね＞＿＜

返事書いていただいてありがとうございました！！！！

回答No.1

noname#23335

>ｄがa.bに垂直な単位ベクトルの時
>どうして、（ｃ→・ｄ→）＾２＝ｋとなるのでしょうか？？

aとd,bとdの内積が0だからです。

>次は、ｃ、ｄのなす角をΘとすると～の先がわかりませんでした。内積の公式を使ったと思う>のですが
>どうして今回は二乗にしてるのでしょうか？？

（ｃ→・ｄ→）＾２=kの左辺を変形しているだけです。

>また、それによって、０≦ｋ≦１とｋの範囲が求まってる理由はなぜですか？？？

k=cos＾2Θ だからです。

>どうして、a・p=1なのですか、どこからこの関係を引っ張ってきたのでしょうか？？

a・b=0 a・c=0だからです。

お礼

返事遅くなりました。　復習してました＞＿＜。単位円から復習してコサインについて調べたら、この題意で導いてるｋの値の方法はりかいできました。
返事書いていただいて、本当にどうもありがとうございました！！！