簡単な２乗計算

質問

1桁の2乗以上の計算を避けて2乗を簡単に計算する方法を考えています。目標としては1～100までの整数の2乗をそれぞれ簡単に導ける方法を見出せたらいいなと思っています。10の倍数のときは自明です。41～59であればその数を50±aと表すと、千の位・百の位の数字が25±a、十の位・一の位がa^2となることがわかりました。また、一の位が5のときの2乗計算もわかりました。しかしそこから進みません。その他の数の2乗計算が簡単にできる方法をもし知ってる方がいらっしゃれば教えてください。

回答No.3

mmk2000

一般的な方法というのは難しい気がします。

＞1桁の2乗以上の計算を避けて2乗を簡単に計算する方法

これは2桁以上の足し算は混ざっていてもよいのでしょうか？
さくっと計算できる方法を考えたくとも、ある意味独特な性質を持つ素数が不規則に顔をのぞかせるせいでなかなか見つからないですね。
皆様が仰るような形で、2桁の数字に近い10の倍数（たとえば３７なら４０－３とか）で展開すれば掛け算自体は1桁で済むと思います。

回答No.2

ht1914

私には特別良い方法があるようには思えません。
１～１００までの数字をＮとします。
Ｎ＝１０Ｘ＋Ｙ（０≦Ｘ≦１０，０≦Ｙ≦１０：整数）

Ｎ＾２＝（１０Ｘ＋Ｙ）＾２
　　　＝１００ｘ＾２＋Ｙ＾２＋１０Ｘ（２Ｙ）

質問文の中に書かれている例はＸ＝０、Ｙ＝０、Ｘ＝５、Ｙ＝５のどれかの場合です。前の２つの場合は１０Ｘ（２Ｙ）＝０、後ろの２つは１０Ｘ（２Ｙ）＝１００ｎです。

他の場合もこの式でやるのがいいのではないでしょうか。（というか私には他に思いつきません。）

Ｎ＝１０ｘ±ｙ（１≦ｙ≦４）とすると
Ｎ＾２＝１００ｘ＾２＋ｙ＾２±１０ｘ（２ｙ）
最後の項のｘ（２ｙ）は１桁または２桁ですから式に従って書き下していけば自然と求まると思います。

例　Ｎ＝７３

７３×７３＝（７×７）×１００＋３×３
　　　　　　＋１０×７×６
　　　　　＝４９０９＋４２０＝５３２９　

　Ｎ＝６７
　６７×６７＝４９０９－４２０＝４４８９

回答No.1

Mister0413

41～59のときの２乗計算法は大発見でしたね。また一の位が5のときの２乗計算は、一部の間で「知る人ぞ知る」という、ある意味で「有名な」計算方法です。
さて、今回はそれ以外の数の２乗計算について発展的に言及しましょう。

まず10の位をａ、１の位をｂとします。

そのとき11～19の範囲の数の２乗は、下記の足し算をしたものです。
(1)百の位・十の位に元の数ａ・ｂをおく
(2)十の位にｂをおく
(3)十の位・一の位にｂ＾２をおく

それ以外の値の２乗した値は下記の足し算をしたものになります。
(1)千の位・百の位にａ＾２とおく
(2)百の位・十の位にａとｂを掛けた値をおく
(3)十の位・一の位にｂ＾２をおく
あまり簡単とは言えませんが、これで1～100までの整数の2乗が求められます。もちろん結果的に41～59の数や一の位が５のとき、さらには上に示した11～19の計算方法は、この計算手順を言い換えたものだと言うことができます。

私に考え付くのはこんなところですが、もっと簡単な方法がありましたら、ぜひ私にも教えて下さい。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。私ももう少し研究してみます。