ベクトルの問題わかりません

質問

平面上にOA=5,OB=3である△ABOがある。∠AOBの二等分線と辺ＡＢの好交点をＣとし、ＡＢの中点をＭ、→OA（ベクトルＯＡです）＝→a,→ＯＢ＝→bとする。直線ＯＭ上に点Ｐをとり、直線ＡＰと直線ＯＣが直交するようにする時、→ＯＰを→a,→bを用いて表せ。
という問題なのですが、僕は
→ＡＰ×→ＯＣ＝０
→ＡＰ＝－→ＯＡ＋→ＯＰ・・・(1)
∴（-→a+→OP)×→OC=0
計算すると
→ＯＰ＝７５＋５→a→b/3→a+5→b
となりました。(３回計算したので間違いはないと思います）
解説はというと→ＯＰ＝ｋ→ＯＭと置いて(1)の→OPに代入して解いています。答えも
５（→a＋→b)/8
となっています。
なぜ僕の回答は違うのでしょうか？

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

まず最初にこれは内積の問題ですから例えば

↑a↑b=5

でも

↑a=5/↑b

ではありません。↑aと↑bのなす角度(θ)が分かっていれば

|↑a|=5/|↑b|cosθ

と求まるだけです。ここを根本的に間違ってます。
では解説は何をしているかというと

↑OP=k↑OM=k/2(↑a+↑b)・・・・・・・(1)

とおけるのですから、ここでkさえ求まれば↑OPを
↑aと↑bで表せることになります。そのために

↑OC=1/8(3↑a+5↑b)

より

（-↑a+↑OP)↑OC=(-↑a+k/2↑a+k/2↑b)(3↑a+5↑b)/8=0

より

(-2↑a+k↑a+k↑b)(3↑a+5↑b)=0

3(k-2)|↑a||↑a|+5k|↑b||↑b|+{5(k-2)+3k}↑a↑b
=75(k-2)+45k+(8k-10)↑a↑b=120k-150+(8k-10)↑a↑b=0

これが↑a、↑bに関係なく成立しますので

120k-150=0および8k-10=0

よってk=5/4

これを(1)に代入して

↑OP=5/4/2(↑a+↑b)=5/8(↑a+↑b)

ですね。

お礼

御礼が遅くなりごめんなさい。詳しい解説ありがとうございます。内積について全くわかってなかったことがわかりました。御回答ありがとうございました。

回答No.1

postro

hajime12さんの解答をいろいろ解読してようやく何をやっているかわかりました。
残念ながら「ベクトルの内積」についてとんでもない誤解をしてらっしゃいます。
まず内積は「×」でなく「・」を使います。
下のような式変形をやっているでしょう？これはまずいです。
→ｘ・→a = →b・→c
ゆえに
→ｘ = (→b・→c)/(→a)
あと、もしかしてこんな式変形ができると思っていませんか？
→ｘ・→a = 2
ゆえに
→ｘ = 2/→a
こんな式変形はできません。「ベクトルの内積」についてもう一度教科書を読むべきです。
両辺をベクトルで割る（みたいな）ことはできないのです。

お礼

御礼が遅くなりごめんなさい。もう一回教科書を読みました。内積は掛け算ではなかったです。これで問題も解決しました。ありがとうございます。