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非線形分極の式における“:”という記号

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非線形光学効果(非線形分極)の式
P = χ(1)・E + χ(2):EE + …
における“:”という記号は,一体どういう意味でしょうか? χ(2)が3行6列のテンソル,各Eが3行1列のベクトルであることを考えると,“:EE”の部分で6行1列のベクトルに変換しているような感じがするのですが…。また,三次の項まで書く場合は,χ(3)とEEEの間にドットが縦に3つ並びますよね,四次,五次…,となっていくと,ドットも縦にどんどん増えていくのでしょうか?

“:”という記号の意味,読み方などを教えていただきたく存じます。どうか,よろしくお願いいたします。
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レベル6

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black_monkeyと言います。
「:」の記号について昔みかけた記憶がありましたので、簡単にコメントさせていただきます。ご参考にしていただければ幸いです。
詳細は参考文献を参照してください。
【参考文献】
・「古典力学 吉岡書店 ゴールドスタイン著」のP171~
  旧版
  (たぶん新版にも記述があると思いますぅ~。)
【蛇足】
下記文章中は分極の大きさとして、スカラーとして扱っています。
・「:」の読み方
 二重点積
・「:」の意味
  χ(2)の定義が
(1) χ(2)=Σχ(i,j)ve(i)ve(j)
注:(1)式の和は、i,jについて1~3について和をとります。
ve(1):ex (x軸方向の単位ベクトル)
ve(2):ey(y軸方向の単位ベクトル)
ve(3):ez(z軸方向の単位ベクトル)
電場Eが
(2) VA=ΣA(i)ve(i)
(3) VB=ΣB(i)ve(i)
A(1),A(2),A(3)及びB(1),B(2),B(3)はベクトルVA,VBのx,y,z成分です。
このとき、二重点積は、
χ(2):VA VB
= ΣA(i)ve(i) Σχ(m,n)ve(m)ve(n) ΣB(j)ve(j)
= Σχ(m,n)A(i)B(j)(ve(i)・ve(m))(ve(n)・ve(j))
= Σχ(m,n)A(i)B(j)δ(i,m)δ(n,j)
= Σχ(m,n)A(m)B(n)
のように計算されます。
・3次の拡張は、以下のようなると推定されます。
χ(3):VA VB VC
= Σχ(k,m,n)ve(k)ve(m)ve(n) ΣA(i)ve(i) ΣB(j)ve(j) ΣC(q)ve(q)
= Σχ(k,m,n) (ve(k)・ve(i))(ve(m)・ve(j))(ve(n)・ve(q))A(i)B(j)C(q)
= Σχ(k,m,n) A(k)B(m)C(n)
・質問の本文中にあります「χ(2)が3行6列」は、「χ(2)が3行3列」の誤記ではないかと思います。
【その他(猿の戯言)】
・分極→分極ベクトルとして、一気にテンソルを用いて展開した方がスマートのような気が……しますぅ~。

P(i)=χ(i,i1)E(i1)+χ(i,i1,i2)E(i1)E(i2)+χ(i,i1,i2,i3)E(i1)E(i2)E(i3)
…+χ(i,i1,…,in)E(i1)…E(in)+……

ウソ・誤記がありましたらゴメンなさい。
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