一般解の求め方

質問

物理でもあり、数学でもあるのでどちらに質問しようか迷ったのですが・・・

電磁気などで出る平面波についての問題ですが。
δ2Ｅ/δz2 －εμ*δ2Ｅ/δt＝０
より、
Ｅ＝Aexp[j(wt-kz)]+Bexp[j(wt+kz)]
が導出される過程を教えてください。
お願いします。

回答No.1

nubou · ベストアンサー

Ｅが（ｚ,ｔ）について２階連続微分可能としｖ＝１／√（ε・μ）として
ｖ＾２・（∂／∂ｚ）＾２・Ｅ＝（∂／∂ｔ）＾２・Ｅを解く

ｘ＝ｚ－ｖ・ｔかつｙ＝ｚ＋ｖ・ｔとし（ｚ，ｔ）から（ｘ，ｙ）に変数変換する
∂／∂ｚ＝（∂／∂ｘ）・（∂ｘ／∂ｚ）＋（∂／∂ｙ）・（∂ｙ／∂ｚ），
∂／∂ｔ＝（∂／∂ｘ）・（∂ｘ／∂ｔ）＋（∂／∂ｙ）・（∂ｙ／∂ｔ），
∂ｘ／∂ｚ＝１，∂ｙ／∂ｚ＝１，∂ｘ／∂ｔ＝－ｖ，∂ｙ／∂ｔ＝ｖ
であるから
∂Ｅ／∂ｚ＝∂Ｅ／∂ｘ＋∂Ｅ／∂ｙ，
∂Ｅ／∂ｔ＝ｖ・（－∂Ｅ／∂ｘ＋∂Ｅ／∂ｙ）
である
再び
∂／∂ｚ＝（∂／∂ｘ）・（∂ｘ／∂ｚ）＋（∂／∂ｙ）・（∂ｙ／∂ｚ），
∂／∂ｔ＝（∂／∂ｘ）・（∂ｘ／∂ｔ）＋（∂／∂ｙ）・（∂ｙ／∂ｔ），
∂ｘ／∂ｚ＝１，∂ｙ／∂ｚ＝１，∂ｘ／∂ｔ＝－ｖ，∂ｙ／∂ｔ＝ｖ
であるから
（∂／∂ｚ）＾２・Ｅ＝（（∂／∂ｘ）＾２＋２・∂＾２／∂ｘ／∂ｙ＋（∂／∂ｙ）＾２）・Ｅ，
（∂／∂ｔ）＾２・Ｅ＝ｖ＾２・（（∂／∂ｘ）＾２－２・∂＾２／∂ｘ／∂ｙ＋（∂／∂ｙ）＾２）・Ｅ
である
従ってｖ＾２・（∂／∂ｚ）＾２・Ｅ＝（∂／∂ｔ）＾２・Ｅより
（∂＾２／∂ｘ／∂ｙ）・Ｅ＝０である
従ってｈ（ｙ）を任意の「１階連続微分可能なｙの関数」として
∂Ｅ／∂ｙ＝ｈ（ｙ）である
従ってｆ（ｘ）を任意の「２階連続微分可能なｘの関数」として
Ｅ＝∫（０～ｙ）ｄｙ・ｈ（ｙ）＋ｆ（ｘ）である
従ってｇ（ｙ）≡∫（０～ｙ）ｄｙ・ｈ（ｙ）とすればＥ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｙ）である
すなわち
ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）をそれぞれ任意の「２階連続微分可能なｘの関数」として
Ｅ（ｚ，ｔ）＝ｆ（ｚ－ｖ・ｔ）＋ｇ（ｚ＋ｖ・ｔ）である
逆に
ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）をそれぞれ任意の「２階連続微分可能なｘの関数」として
Ｅ（ｚ，ｔ）＝ｆ（ｚ－ｖ・ｔ）＋ｇ（ｚ＋ｖ・ｔ）ならば
ｖ＾２・（∂／∂ｚ）＾２・Ｅ＝（∂／∂ｔ）＾２・Ｅである（これは明白）

回答No.2

siegmund

δは偏微分記号∂をちゃんと使うとして，
(1)　　∂^2 E/∂z^2 －(εμ) ∂^2 E/∂t^2 = 0
ですね．

nubou さんがお書きのように，一般解は
(2)　　E(z,t) = F(ωt-kz) + G(ωt+kz)
です．
nobou さんは中身が z±vt の表現にされていますが，
ω=vk ですからどちらの表現でも構いません．

つまり，ωt-kz の任意の関数 F をもってくる，
ωt+kz の任意の関数 G をもってくる，，
それらの線型結合が(1)の解だと言うわけです．
解は平面波に限りません．
例えば
(3)　　E(z,t) = E_0 exp{-a(ωt-kz)^2}
だって(1)の解です．
t=0 としてグラフを描いてみれば分かりますように，これはパルス波です．

質問の
(4)　　E(z,t) = A exp[j(ωt-kz)] + B exp[j(ωt+kz)]
は一般解で
(5)　　F(u) = A exp(ju)，　　　G(u) = B exp(ju)
と選んだ場合の話で，いわゆる平面波の解です．