解き方を教えてください。

質問

r=exp(jΦ)=cosΦ＋jsinΦ
で、
r={cosθ＋j√{(sinθ)^2 －n^2}/{cosθ－j√{(sinθ)^2 －n^2}
があり、これを解くと

Φ=2*tan[{√{(sinθ)^2 －n^2}}/cosθ]^-1
(タンジェントインバースということです)

になるらしいのですが、どのようにすれば
Φを求めることができるのでしょうか。

回答No.2

mickel131

夜も遅く、1回解いただけなので自信はありませんが、
まず、r=　{cosθ＋j√{(sinθ)^2 －n^2}｝　/{cosθ－j√{(sinθ)^2 －n^2}｝
の分母と分子に、{cosθ－j√{(sinθ)^2 －n^2}｝の共役複素数、{cosθ＋j√{(sinθ)^2 －n^2}｝　を掛けて、分母を有理化します。
すると、
ｒ＝（２（cosθ)^2-1)/(1-n^2)
+ (2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 －n^2} *j
となります。
これが、cosΦ＋jsinΦ ですから、
（２（cosθ)^2-1)/(1-n^2)　が　cosΦ　であり、
(2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 －n^2}　が　sinΦ　です。

後で、必要になるので、ここで、１－cosθ　と　１＋cosθ　を求めておいてください。

さて、目標の
Φ/2　=　tan[{√{(sinθ)^2 －n^2}}/cosθ]^-1
を示すには、
tan(Φ/2)　＝　√{(sinθ)^2 －n^2}}/cosθ
が言えればよいわけです。

そこで、tan(Φ/2)を求めます。
コサインの加法定理　cos（α　＋β）＝cos α cos β－sin α sin　β　で、
β＝α　と置くと、　　cos2α　＝（cosα）＾２－（sinα）＾２　　－－－（２）
ここで、（sinα）＾２＝１－（cosα）＾２　　を代入すると、
cos2α　＝２＊（cosα）＾２－１　　という式ができます。
この式から、（cosα）＾２＝（　１＋cos2α　）/２　－－－（３）
（２）で、、（cosα）＾２　＝１－（sinα）＾２　を代入すると、
cos2α　＝１－２＊（sinα）＾２　
この式から、（sinα）＾２＝（　１－cos2α　）/２　－－－（４）
（４）÷（３）より、
（tanα）＾２　＝（（sinα）＾２）÷(（cosα）＾２)
＝（　１－cos2α　）÷（　１＋cos2α　）
ここで、α　＝Φ/2　と置くと、　2α＝Φ　で、
これにより、tan(Φ/2)　の２乗が求まります。つまり、上で求めておいた、
１－cosθ　を　１＋cosθ　で割ればよいわけです。あと、ルートして、
tan(Φ/2)　を求めますと、
{√{(sinθ)^2 －n^2}/｛２（cosθ)^2－ｎ＾２｝
となります。
分母は、cosθにはなりませんでした。私の計算にミスがあったかもしれません。
ご自分でお確かめください。
この説明でわかりにくいところがあれば、また質問してください。それでは。