数列の漸化式a(n+1)=pa(n)+qでc=pc+qを特性方程式と呼んでいい？

質問

「特性方程式」で検索したり、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2371813
などをみて思うのですが、

数列の漸化式
a(n+1)=pa(n)+q
を解くために、準備として考える式
c=pc+q
を特性方程式と呼んでいいのでしょうか？

検索したところ、そう呼んでいる人が多いです。
しかし、僕はそう呼びたくはありません。
もちろん、３項間漸化式a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=0で
x^2+px+q=0を特性方程式と呼ぶのはいいです。

以前、高校の参考書をたくさん比較したことがあります。
大手の数研出版などは、特性方程式と呼んでいなくて、小規模な出版社では特性方程式と書かれていた記憶があります。

c=pc+qを特性方程式と呼ぶのは、権威ある数学辞典などにも書かれているのでしょうか？
それとも、高校のそれも学校外の場所でよく使われる俗語なのでしょうか？
外国ではどうなのでしょうか？

言葉というのは、時々、間違った意味で世間に広まってしまい、それが辞書的にも認知されることがあります。「ホームページ」とか「ハッカー」とか。
c=pc+qを特性方程式と呼ぶのもそういった部類でしょうか？

たとえば、みなさんが高校生に教える指導的立場にあったとして、c=pc+qを特性方程式と教えていいのでしょうか？

ちなみに、教科書にはそうは絶対にかかれていないと思います。

回答No.5

guuman · ベストアンサー

a(n+1)-p・a(n)=q

の漸化式は

a(n+1)-p・a(n)=0
（非斉次である前の漸化式を斉次化したもの）

にa(n)=λ^nを代入してできる式

λ-p=0

です

質問にある式は特性方程式と言うべきものではありません
線形漸化式の一般解放ではそのような式は有害で使いません

ちなみに微分方程式
y'-p・y=q
の特性方程式は
y'-p・y=0
にy=exp(λ・x)を代入して得られる式
λ-p=0
です

回答No.6

mmk2000

自分としては単なる係数比較したときに出来る式がa_n+1とa_nをαで置き換えたものと同じ式になるから、としか習ってないので特性方程式と言う言葉の定義を考えたことも無かったのですが、調べてみると参照
URLのような対話がありました。
大学の教授の意見もあるのでひとつの参考程度にご参照ください。

参考URL：

http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec395.html

回答No.4

masuda_takao

まぁ、最終的には流儀の問題だと思うので、何が正しいのかを明確に述べるのは難しいような気もします。ただ、私見を述べれば、仰るような違和感を僕も感じます。

　問題になさっている式“c ＝ pc + q”は、単に「２項間線形漸化式の特解を求める方程式」と呼べば済むような気がしますし、またそう呼びたいとも思います。
　線形漸化式や線形微分方程式の特性方程式とは、やはり明確に異なるように思えます。No. 3 さんには申し訳ありませんが、英語で何と呼ぶかというのは、論点としてはどうかと。

　なお、参考までに、線形代数学や微分積分学、微分方程式論などの教科書では、F(t) を多項式として、
線形常微分方程式：F(d/dx)(y) ＝ g(x)
...や
線形漸化式：F(p)(a_n) ＝ g(n)
（ここに、p は数列の項の添え字を１つ進める作用素...即ちp(a_n) ＝ a_{n+1}...とし、g(x) や g(n) はある関数とする）
...に対して、代数方程式 F(t) ＝ 0 のことを、考えている線形常微分方程式や線形漸化式の特性方程式と呼んでいます。例えば、Wikipedia で「線型微分方程式」の項をご覧下さい。

お礼

ありがとうございます。
特にこの教えてgooで、
c=pc+qを特性方程式
と呼ぶ人が現れましたら、このページを参照として紹介したいと思います。

回答No.3

kazupiano

英語ではなんと表記されているかを調べてみると
理解が深まるかもしれませんよ。

ちなみに僕の高校の教師は特性方程式とよんでました

お礼

英語で特性方程式は
Characteristic equation
だと思いますが、
なんというか、言語には文化的なものがあって、
数学用語も日本と諸外国とで一対一対応していないことがよくあって、詳しくは分かりません。

回答No.2

pyon1956

以前同様の質問を書かれていた方でしょうか？（削除されてしまいましたが）この点についてのご教示ありがとうございました。蒙を啓かれたのですが、一方で問題というか疑問点も・・・・
その後調査したところでは、東京出版の参考書に
「特性方程式というのは本来は行列の固有方程式のことである」旨が書かれていました。つまり、二次形式から導かれる行列の固有値を求める流れでの話です。ただ、明確な定義が書いてあるのがこれぐらいしかなくて、斉次の場合以外に流用してはいけない旨が書かれているものは見つかりませんでした。その点で「ホームページ」「ハッカー」などの誤用とは少し違うと思います。
つまり。本来は特性方程式＝固有方程式なのであって、漸化式にこの用語を使うのは二次形式の理論があっての話。従って高校で使うのはまさしく仰るような問題を引き起こす元です。
一方でこの行列から始まって、微分方程式に流用される場合は斉次であればいいのですが、これも高校の範囲外。
この点からいえば、むしろこの言葉自体、高校では使わない方がいいのでは？少なくとも背景にある考えが伝わらない以上、いくら「権威ある辞典」にのっていようが「教科書」に書かれていようが、不適切ではないかと。そういう意味でそもそも特性方程式という言葉自体高校の教科書に出ていないのが普通です。つまりこの言葉自体「発展」事項です。
なお、c=pc+qについては確かに本来の意味を逸脱していますが、流用としては可能な使い方かもしれません（繰り返しますが漸化式の場合も本来は流用です）。しかしたしかに逸脱ではあるのでこれに対して何らかの名称を新たに当てるのが良いのではないでしょうか。
もっとも不変式論当たりの観点からすればかなり本質的でもあるので、（この場合は線形斉次の場合も同列に考えるべきですが）、流用という観点からすればさほどまずいとも言いがたいと思うのですが。ちなみにこれまた高校の範囲外なので、不正確かもしれませんが、といって絶対に間違いだから直さないと、と目くじらを立てる必要性も大して感じません。高校の教科書はそこまで厳密じゃないですよ。そのあたりは授業で補ってなんぼなんです。大体教科書やそこらの参考書をまともに信じていたら数学の授業なんてとてもできないです。
「ホームページ」はたとえば英語では通用しない言葉で、誤解の元になりますね。（英語ではトップページの意味、またはポータルページ（これは流用ですが））の意味ですから。これに対し、この式を特性方程式と呼ぶのは確かに厳密ではないが誤解の元になる、といった事はないように思います。（だからといって誤用は誤用であるというならまあそれはその通りなのですが）
その点で、もしこだわられるのなら、この形の式に何らかの新しい名前を付ける運動を起こして下さい。よく使う以上、名前がないのは不便ですし、「俗に特性方程式と呼ばれている」というくらいの紹介しかどっちみちできないのですから。（繰り返しますが、背景にあるのは不変式とか力学系とかその辺りの理論ですから、高校生には無理）

お礼

削除された件は、僕にとっても不本意でしたが、ご回答をされた方にとってはもっと不本意だったことに、お詫びします。

特性方程式＝固有方程式
とのことですが、
３項間漸化式a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=0を
(a(n+2))=(-p -q)(a(n+1))
(a(n+1)) (1 　 0)　　(a(n))
と行列を用いて表すと、
その固有方程式は、x^2+px+q=0となると思います。

東京出版は僕も信頼を置いていて、雑誌「大学への数学」も購読していますが、そこではc=pc+qを特性方程式と呼んではいないと思います。

たとえば、高校教育といった世界に限ったとして、特にc=pc+qを特性方程式と呼ぶ指導者に言いたいのですが、そういった大手の姿勢を学んでほしく思います。

回答No.1

hisa-gi

私は漸化式 a(n+1)=pa(n)+q の解法において用いる
c=pc+q を特性方程式と習ったと記憶しています。
教科書に載っていたかどうか、あるいは「特性方程式」という
名前が載っていたかどうかは覚えてませんが。

そもそも文字通りに、漸化式などの式の「特性」を表した「方程式」なのですから、
特に問題ないと思うのですが。

x^2+px+q=0 は特性方程式だが、
c=pc+q は特性方程式ではない、
そう主張する根拠はなんなのでしょうか？

お礼

たとえば、p,q,r,s,tを実定数として
漸化式 a(n+3)+pa(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=sn+t
を解くには、次のようにします。簡潔説明にします。

こういった漸化式の解は、
一般解＋特殊解
という形です。

特殊解を求めるには、
a(n)=bn+c
だとして、漸化式に代入し、係数比較でb,cを求めます。

一般解を求めるには、
a(n)=x^n
だとして、
a(n+3)+pa(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=0
に代入しますが、それをx^nで割った、
x^3+px^2+qx+r=0
が特性方程式と普通呼ばれています。
その解が異なるとして、α,β,γとすると、
もとの漸化式の解は
a(n)=dα^n+eβ^n+fγ^n+bn+c

それにあわせると、
a(n+1)=pa(n)+qつまり、
a(n+1)-pa(n)=q
においては、
x-p=0
を特性方程式と呼ぶべきだと思います。

ってなことをいいながら、http://toretate.fc2web.com/toryo/060204/060204.html
の中ほどにある分数型の漸化式
a(n+1)={pa(n)+q}/{ra(n)+s}
をとくためにも、a(n)=a(n+1)=αとおいて、
α=(pα+q)/(rα+s)
を考えていますが、それを特性方程式と言うのかどうかは、よくわかっていないので、どなたか教えていただきたいです。