四面体の重心

質問

三角形の重心は2等分線を2:1に分けるとは習いました。けれど四面体の重心はどう分けるのでしょう?
つまり四面体のひとつの頂点から重心に直線を引くと
その延長線は底面の三角形の重心につながりますが
その直線は重心によってどう内分されているのでしょうか?習ったようですが忘れてしまいました。
どなたかわかりやすい解説、web等教えてください。

回答No.3

nubou · ベストアンサー

四面体ＡＢＣＤにおいて
直線ＣＤに垂直な平面ｐに四面体ＡＢＣＤを射影し
Ａのｐへの射影をＡ’とし
Ｂのｐへの射影をＢ’とし
Ｃ（Ｄ）のｐへの射影をＣ’と
四面体ＡＢＣＤの重心のｐへの射影をＧとし
△ＡＣＤの重心のｐへの射影をＥとし
△ＢＣＤの重心のｐへの射影をＦとする

するとＥは線分Ａ’Ｃ’上にありＦは線分Ｂ’Ｃ’上にあり
Ｇは直線Ａ’Ｆと直線Ｃ’Ｅの交点であり
三角形の重心の性質からＡ’Ｅ：ＥＣ’＝Ｂ’Ｆ：ＦＣ’＝２：１である
従ってＡ’Ｃ’：ＥＣ’＝Ｂ’Ｃ’：ＦＣ’＝３：１である
従って△Ｃ’Ａ’Ｂ’∽△Ｃ’ＥＦでありその相似比は３：１である
従ってＥＦ〃Ａ’Ｂ’である
従って△ＧＥＦ∽△ＧＢ’Ａ’でありその相似比はＥＦ：Ｂ’Ａ’＝１：３である
従ってＡ’Ｇ：ＧＦ＝Ｂ’Ｇ：ＧＥ＝３：１（求めるもの）である

お礼

何回も直していただいてありがとうございました。投影図とは少し難しかったですが一生懸命考えて理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

tgb

厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計
算で求められます。
　１つの頂点をＡ、これに対する底面の面積をＳ、頂点Ａと
重心を結ぶ線と底面との交点をＢ、ＡＢの長さをｌ、Ａから
Ｂにｘ座標を考え、ｘにおいて底面に平行な面でスライスし
てその面をｓとします。ｓはＳに相似でその面積は
ｓ＝ｋ・ｘ^２　　（ｋ＝Ｓ／ｌ^２）
重心の位置をｘｇとすると
ｘｇ・Ｖ＝∫ｓ・ｘ・ｄｘ＝∫ｋ・ｘ^３ｄｘ＝ｋ・ｌ^４／４
　　 Ｖ＝∫ｓ・ｄｘ＝∫ｋ・ｘ^２ｄｘ＝ｋ・ｌ^３／３
これから
ｘｇ＝３・ｌ／４
（ＡＢを３：１に内分）

　この計算は頂点Ａを固定し、底面Ｓが鉛直になるように置
いた状態を想定して、そこでモーメントが釣り合うと考える
と出て来ます。
　ｘｇ・Ｖ ： 重心から力Ｖ（体積<=>重量）によって支える
　　　　　　 ことによるモーメント
　∫ｓ・ｘ・ｄｘ ： 三角錐の自重によるモーメント

お礼

わかりやすいようでモーメント・・・。そういう解き方もあるのですね。文章だけでは難しい質問、答え方ながらもわかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.1

nubou

自身はありませんが３：１のような気がしますね
解析的に求めるのが一番ではないですか？
四面体の一つの頂点をＣとし
四面体のもう一つの頂点をＡとし
ＣとＡと「Ｃから引いた重心を求める直線」を含む平面と四面体の断面の三角形を△ＡＢＣとする
△ＡＢＣにおいて
点Ａを（０，０）とし
点Ｂを（γ，０）とし
点Ｃを（α，β）とすれば
四面体の重心のｙ座標は（１／４）・βであるから前記結論が・・・

お礼

四面体の重心のｙ座標は（１／４）・βであるから前記結論が・・・
そうなんですか？知らなかったら自分があほですね。
文章では難しい質問ながらありがとうございました。