混合密度の計算方法を教えてください

質問

始めまして。混合後の密度計算の仕方を教えてください。

液体Ｐの純度は６５％です（重量比、Ｐ液１００グラム中にはＰＰが６５グラム含まれています）。Ｐ液の密度は０．８０固定とします。

液体Ｎは溶媒（溶剤）です。密度は０．７５とします。

液体Ｐを溶媒Ｎに溶解した液体（ＰＮ）があります。
ＰＮ中のＰＰの濃度（重量比）を２％とすると、液体ＰＮの密度はどうやって計算したらいいのでしょうか。濃度から混合液の密度は求められるという話を聞いたものですから、皆さんに質問させていただきました。
液体Ｐ中のＰＰのデータはありません。

理系の学問の化学にしてはちょっと程度の低い質問ですが、化学だめ、数学だめの私にとっては難問です。よろしくお願いします。

回答No.1

po-net · ベストアンサー

どうも、po-netと申します。

＜方針＞

液ＰにおけるＰＰと溶媒の濃度の比を用いて、液体ＰＮにおけるＮの濃度を求めます。
そして、そこから導き出された（液体ＰＮの）それぞれの濃度と、液体Ｐと液体Ｎの密度から、液体ＰＮの密度を求めます。
また、溶液濃度は全て同じ単位を使っていることから数字をそのまま使うことができるのにも着目します。

＜解き方＞

まず、ＰとかＮですと（私が）イメージしにくいので、
ＰＰ＝砂糖、液体Ｎ＝しょうゆ、液体Ｐの溶媒＝水、液体ＰＮ＝調味料
としましょう。
後で元に戻してください。
絵に描くとより分かりやすいです。。。

こう考えると液Ｐは濃度６５％の砂糖水、つまり
砂糖：水＝６５：３５（＝１３：７）　　　・・・（１）
ということですよね？
（ここの意味を取り違えていたらゴメンナサイ）

（１）より、式を変形して
水＝砂糖×（３５／６５）　　　　　　　　・・・（１）'

さて、問題によると、砂糖水としょうゆと混ぜたとき、知りたい事の第一段階であるしょうゆの割合をＸ％とししたとき、こんな関係ができます。
しょうゆ：砂糖水＝Ｘ：１００－Ｘ　　　　・・・（２）
砂糖水＝砂糖＋水＝１００－Ｘ　　　　　　・・・（３）
砂糖＝２　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（４）

さあ、あとは数学の問題です。
（１）’、（２）、（３）、（４）より
砂糖水＝？？？％　　（＝Ｙとします）
しょうゆ＝Ｘ＝？？？％　　　（自分で計算しましょう♪）

調味料における砂糖水、しょうゆの割合が分かったところで、やっと密度の計算に入ります。
・砂糖水の密度は０．８０　→　コレが全体のＹ％　　　・・・（５）
・しょうゆの密度は０．７５　→　コレが全体のＸ％　　・・・（６）

（５）、（６）より、全体の密度は
　（０．８０Ｙ＋０．７５Ｘ）／１００　（これは自分で計算しましょう♪）
で求まります。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

５年位前の事なんで、かなり自信ないけど書いてみました。
あっているかどうか分かりませんが。。。
間違えていたらごめんね。。。

お礼

ｐｏ-ｎｅｔさんお世話になっています。ギブアップです。
この辺が私の限界です。一応エクセルで逆算させたら次の結果がでました。

密度0.8の砂糖水1リットルの重さは0.8ｋｇ
濃度65%ですから砂糖水中の砂糖は0.52ｋｇ

密度0.75の醤油33.6リットルの重さは25.2ｋｇ
砂糖水と醤油を混ぜたもの（ここでは調味料）重さは26ｋｇ

調味料中の砂糖の濃度は0.52ｋｇ/26ｋｇ*100で2になります
密度は全体の重さ（ここでは砂糖水と醤油を足した調味料の重さ）/全体の量
ですから26ｋｇ/34.6リットル＝0.751445になります

で、砂糖水の量（リットル）と醤油の量（リットル）がわからなくても、調味料の
密度を求めるにはどうしたら良いのかというのが今回の問題ですが

「密度0.8の砂糖水の占める割合と密度0.75の醤油の密度が占める割合が
分かれば求められる」というのがｐｏ－ｎｅｔさんのアドバイスだと
思うのですが、ここから先がわかりません。
砂糖水に醤油を加えない状態では密度0.8の砂糖水が全てですから密度は
0.8、醤油単独では密度は0.75。

砂糖水に醤油を加えるにつれて、砂糖水の密度は醤油の密度に近づく
一方で、醤油の密度は砂糖水の密度に近づく。
ここまでです。ギブアップさせてください。
ちょっと悔しいですが限界です。

補足

po-netさん、こんなに詳しく教えてもらえるとは思いませんでした。
どうもありがとうございます。メスフラスコで素早く密度を測って濃度が１０％以下であるかどうかをガスクロを使わずに素早く判断しようと考えています。メスフラスコでサンプリングして密度を現場で求めるのは便利ですが、当然誤差もでると思いますので、濃度と密度にどの程度の誤差が出るのか、誤差があっても濃度と簡単な方法で測った密度に一定の関係があれば式で補正しようと思います。 「こんな簡単な問題が解けなくてどうやって補正するんじゃい」と笑われ そうですが、頭の限界だからしょうがないです。その前に最初から計算方法がわからなくて質問させていただきました。”密度＝重さ/体積”しか知らない私には難問です。これからじっくり考えます。結果が楽しみです。ありがとうございました。
私は「教えてｇｏｏ」の使い方をあまり知らないので何か失礼があったら
指摘してください。これから絵に描いてじっくり勉強して、理解できなかったらまた教えてください。ありがとうございました。

回答No.8

noname#21649

＞屈折計はありますが、それで密度が分かるんですか？？？
屈折率と密度（濃度）の回帰線を描き使います。

お礼

屈折率と密度の関係をグラフにして、そのグラフから関係式を求めるのですね？。揮発性の液体でなかったらよかったのですが残念です。

密度から濃度を求める際の誤差の原因がわかりました。
新品と回収品とでは密度が違うのです。いままでは同じものと考えて
いたので、その差が誤差になっていたようです。

ガスクロにかけたら、回収品にはやっぱり変なものが混じっています。
完全に精製できていないのが原因だと思います。
一歩前進です。今、濃度からどういう逆算をしたら計算したとおりの
密度になるのか、思い当たる数値を足したり引いたり、割ったりかけたり
しています。ここで言うところの砂糖水の中身は砂糖が65％で水が35％
ということは常に砂糖の53.84％は水なんだというｐｏ-ｎｅｔさんの
ヒントが唯一の手がかりです。砂糖と水の密度は違いますが、混ざった
場合は密度0.8の砂糖65％と密度0.8の砂糖水が砂糖の54.84％あるという
ことでなんとかここからうまく求められないかと期待しています。

補足

po-netさんへの返事の方法がないので、ここでpo-netさんとedogawaranpoさんに、お礼いたします。

なんだか答えが出てしまったようです。edogawaranpoさんに返事を書いていたら、まだやってなかった計算があることに気がついて、やってみたら
密度が一致しました。ヒントはpo-netさんの35/65です。

なぜこれでいいのかはわかりません。

砂糖水の濃度は65％、密度0.8。
砂糖水中の水は砂糖の35/65。
水の密度は同じとして（混ざっているから）0.8。

醤油の密度は0.75。
以下式です
0.02/0.8=0.025
0.02*0.53846/0.8=0.0134615
0.02*0.53846=0.0107692
(1-0.02-0.0107692)/0.75=1.2923077
0.025+0.0134615+1.2923077=1.330769233
1/1.330769233=0.751445085

確かめ
砂糖水1リットルは0.8キロ、内砂糖は0.52キロ
醤油33.6リットルの重さは25.2キロ
全体の重さは26キロ、量は34.6リットル
密度は26/34.6で0.751445
砂糖の濃度は0.52/26=0.02

これでいいようです。
散々お手数かけましたが、できてしまったようです。

回答No.7

po-net

すみません、連絡が遅れました。
po-netです。

＞密度0.8の砂糖水1リットルの重さは0.8ｋｇ
＞濃度65%ですから砂糖水中の砂糖は0.52ｋｇ
単位にもよりますがあっています。
密度の単位は[kg/cm~3][kg/l][mg/m]などもありますが（一般的には使いません）、用途によりますが大体は[kg/m~3][g/cm~3]です。
この場合は[kg/l]でしょうか。

ただ、ココから先は、エクセルによる逆算のようですね。

＞密度0.75の醤油33.6リットルの重さは25.2ｋｇ
＞砂糖水と醤油を混ぜたもの（ここでは調味料）重さは26ｋｇ
＞調味料中の砂糖の濃度は0.52ｋｇ/26ｋｇ*100で2になります
＞密度は全体の重さ（ここでは砂糖水と醤油を足した調味料の重さ）/全体の量
＞ですから26ｋｇ/34.6リットル＝0.751445になります

私のやり方でも計算して考えてみましょうか。
多分少数が出るので、答えが出るギリギリまでは分数のまま計算し、理論値を求めます。

水＝砂糖×（３５／６５）　　　　　　　　・・・（１）'
しょうゆ：砂糖水＝Ｘ：１００－Ｘ　　　　・・・（２）
砂糖水＝Ｙ＝砂糖＋水＝１００－Ｘ　　　　・・・（３）
砂糖＝２　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（４）

（１）’、（４）より
水＝２×（３５／６５）＝１４／１３　　　・・・（７）

（３）、（４）、（７）より
砂糖水＝砂糖＋水
　　　＝２＋（１４／１３）＝１００－Ｘ

　　∴Ｙ＝３＋（１／１３）[％]　　　・・・（８）
　　∴Ｘ＝１００－３－（１／１３）
　　　　＝９７－（１／１３）　[％]　　　・・・（９）

であることが求められます。
（あれ？　２式は不要でした。）

＞「密度0.8の砂糖水の占める割合と密度0.75の醤油の密度が占める割合が分かれば求められる」というのがｐｏ－ｎｅｔさんのアドバイスだと思うのですが、ここから先がわかりません。

恐らく、これはこの辺についての質問でしょうか？
edogawaranpoさんの補足をいただきましたが、ココではそれを少し変えた仮定が必要になります。

仮定　：　液体Pと液体ｎを混ぜたとき、液ＰＮにおけるＰＰ、Ｎは揮発しない（量が変わらない）

さて、続きに入りましょうか。
求める調味料の密度をＺとしたとき、（８）、（９）により、
「密度Ｚの１００％中に、密度０．７５のしょうゆがＸ％、密度０．８の砂糖水がＹ％入っている」
ということが分かりますね。

つまり、先ほどの仮定が成り立っているならば、
（１００／１００）×Ｚ＝（Ｘ／１００）×０．７５＋（Ｙ／１００）×０．８　　・・・（１０）
という式になります。
ちなみに、上式はどの項も「割合×密度」で示しています。

（１０）を変形させて、Ｘ、Ｙを代入
Ｚ＝（０．７５Ｘ＋０．８Ｙ）／１００
　＝[０．７５×｛９７－（１／１３）｝＋０．８×｛３＋（１／１３）｝]／１００
展開しながら計算
Ｚ＝（０．７５×９７＋０．８×３＋０．０５／１３）／１００
　＝（７２．７５＋２．４＋０．００３８４６１５・・・）／１００
　≒７５．１５４／１００
　＝０．７５１５４

　∴密度の理論値　０．７５１５４

お答えの数値は0.751445ですが、あっていると思いますよ。
恐らく計算途中の誤差か何かでしょう。

お礼

po-netさん、濃度が２％になる時の密度（全質量の合計/全体積の合計）は
やっぱり0.751445でした。

補足

po-netさんお世話になっています。私が濃度2％になるようにブレンドした結果から求めた密度もpo-netさんの答えと同じになってもいいと思うのですが。。。
もう一度エクセルでやってみますが、密度＝ブレンド後の質量の合計/体積の合計
（ｋｇ/リットル)で間違いなければ、新たな疑問になりそうです。
エクセルだから小数点以下の問題でもなさそうですし。
ｐｏ-ｎｅｔさんの式ですが、私が「なぜそうなるかを覚える」のは無理なので
メモに残してまる暗記します。手元にエクセルがないのでまた１０時ＡＭごろアクセスします。どうもありがとうございました。

回答No.6

noname#21649

＞それとも体積％でしょうか。
普通化学工学では．体積％は使いません。ただし．特別な理由（質量合わせが困難で体積合わせしかできない場合等）では体積％を使用します。
原則としては．質量％か質量比率（モル％かモルぶんりつの場合もあり）を使います。

計算方法としては．
原料の重さを全部足して．目的の成分の重さを割り１００倍して％にします。１００倍しない場合の比率を使う場合もあります。

比重でうまく精度が取れない場合には．屈折率で精度を特定する方法もありますけど．屈折計ありますか？

補足

毎日アドバイスいただきありがとうございます。
たしかに質量％ですよね。
屈折計はありますが、それで密度が分かるんですか？？？？。
ちょっと驚きです。でも揮発性の液体ですから多分無理だと思います。

ところで次の計算合っているでしょうか。

密度0.8の砂糖水1リットルの重さは0.8ｋｇ
濃度65%ですから砂糖水中の砂糖は0.52ｋｇ
密度0.75の醤油33.6リットルの重さは25.2ｋｇ
砂糖水と醤油を混ぜたもの（ここでは調味料）重さは26ｋｇ
調味料中の砂糖の濃度は0.52ｋｇ/26ｋｇ*100で2になります
密度は全体の重さ（ここでは砂糖水と醤油を足した調味料の重さ）/全体の量
ですから26ｋｇ/34.6リットル＝0.751445になります

回答No.5

noname#21649

>サンプルは多いほど誤差が小さいと思いますがどうでしょうか）
これは．一つは天秤の関係です。
たとえば．メスフラが３００ｇで中身が３００ｇで０．１ｇ単位の電子天秤を使ったとすると．有効桁が４桁．メスフラが５００ｇ．中身が１０００ｇで０．１ｇ単位の電子天秤を使ったとすると．有効桁が５桁になります。
もう一つが温度の関係です。
５００ｍLメスフラの熱当量が（ガラスの比熱を忘れたので０．８と仮定）で２４０ｇ．１Lのメスフラの熱当量が４００ｇ．（実際の数値を入れて計算してみてください）．
（５００＊４０）／（５００＋２４０）＝２７
（１０００＊４０）／（１０００＋４００）＝２８
と．容積の大きいほうが温度が下がりません。また．容積が大きいほうが外気による冷却が少なくて住みます。
メスフラに移る熱量が容積が大きいほど全体の割合からすると少なく．温度があまり下がりません。温度を一定にできるかどうか（タンク内温度とメスフラの温度をほぼ等しくできるか）が精度維持の鍵ですから。

＞疑問に答えられないために、
固体と液体の２つを混ぜて容積がほとんど変化しない（容積の測定精度を考えてください）という条件が満足できれば．液体に固体が入った分．液体が重くなります。
固体と液体の重さの和は．混ざっていても分離していても変らないという法則．「質量保存の法則」がありますから。

補足

電子天秤の精度ですが、小数点以下４桁まであります。
精度としては＋－１％あたりを狙っていたのですが、昨日やってみたら
２．３％もあってちょっとがっかりしています。

密度の計算ですができそうでできません。
えーと、「ある密度の液が濃度％で全体のどれだけを占めるか」というのが
分かればいいのですよね？。それとも体積％でしょうか。
０．８の密度の液が全体の５０％（どういう５０％かがよく理解できません）、０．７が５０％なら混合密度は０．７５ですよね？？？？？。
（密度だから重さかなと思いますが）もう一度、エクセルで逆算やってみますが、理屈抜きで密度があう計算を探してみます。明日からテスト始めるので今日あたり結果が知りたいような、自分で解いてみたいような・・・。

ああ、私の頭脳はこの程度なんですね。
昼間までもうひとがん張りしてみます。
そもそも、濃度が分かっているときに、その濃度から溶液全体の密度（ここ
では調味料の密度）を求めるには最低何が分かればいいのでしょうか？。
今回のケースでは砂糖水の濃度が一定であることが条件でしょうか？。
多分必須条件だと思いますが。だとすると砂糖水の濃度が毎回違う場合は
濃度から密度を求めるのは不可能でしょうか。

もしかして、砂糖の濃度と調味料の全体量が分かれば（砂糖水の濃度が分からなくても）、この溶液（ここでは調味料）の密度を求めるのは可能なんでしょうか？。

回答No.4

noname#21649

＞外気温と容器内の温度は同じではありません。
メスフラのひょうせんが１つである事から．おそらく内容量の線と思われます（最も生産が多い）。また．メスフラのどこかに「国」マークがついていると思います。これは「検定証印」といてって．国の決めたある一定の範囲の精度を持っているという事を証明する印です。

メスフラの一般的特徴として．
４０度以上で使う（乾燥を含めて過去に１回以上超えた事がある場合を含む）と内容量が変化し．ひょうせんは示した値であるとは限りません。

ひょうせんの「５００ｃｍ３」は．２５度C１気圧のときに．０．５ｍL（数値きわめて疑問．正確な数値はJIS規格か計量関係法規参照の事．どうしてもわからない場合には．都道府県計量検定所にメスフラの検定精度はどのくらいかと聞いてください）の誤差があるので．別のメスフラを使ったとき（工場では落として割ってしまうという事を常に考える必要があります）に．今までの値が使えなくなってしまう場合があります。少なくとも１回は．２５度でひょうせんを合わせた水を入れて．いろいろな温度でどの程度変化するかを計ってください（メーカーと容積によって変化の程度が異なるのです）。
また．重さから校正すると．表記が５００ｍLであっても．実際には５００．１２ｍLとかになっている場合もあるので．少なくとも１回は２５度で水を入れて計ってみてください。２５度は．気温が２５度付近になるころ室内に水を入れたビーカーでも用意しておけば簡単に計れるでしょう。また．測定対象の温度が変化するようなので．いろいろな温度でひょうせんに合わせた時の重さを量っておくと良いかと思います。
メスフラやぶんちゅう用ペピットは．場合によっては容器の蓋の上等に置いてないようぶつの温度と同じようにしたほうが良いかもしれません。

＞メスにサンプリングして（ひょうせんよりちょっと上まで）レベルをじっと見ているとわずかに上下します。
容器内部と室温との温度差の影響でしょう。

最後に「溶媒」は吸水性はないですよね。吸水性があると「空気中の水が入ってめちゃくちゃな比重しか計れない」なんてことがありますので。

補足

詳しい説明ありがとうございます。今日もこの時間になってしまいました。
実はあまり難しいことは考えていませんでした。

メスフラはガラスですから膨張することも念頭におかないといけませんが
めちゃくちゃです。すでに０度付近から４０度ぐらいまで上げて
密度測定しています。

密度測定に使うものは全て、密度測定現場に１５分以上おくようにしています。

誤差は覚悟で、サンプリングしたらすばやく密度を測ってしまうのが
今回の作戦です。

どうやら最大で２％程度の誤差があるようです。
濃度５０％の付近では２％の誤差（濃度５０％なのに４８％が出たり５２％がでたりする）は、メスフラで測ったにしては上出来と考えています。

最大で２％程度なら良しとしますが、濃度１０％で２％の誤差だと
２割になりますから、500ではなくて1000ＣＣのメスフラが必要かな
とも考えています。（サンプルは多いほど誤差が小さいと思いますが
どうでしょうか）

それ以前に、「密度からなんで濃度がわかるんじゃ」という
疑問に答えられないために、メンバーを説得できません。

計算例ではわかりますが、式ができません。

回答No.3

noname#21649

>素早く密度を測って
メスフラは．
中身が規定された容積の場合
取り出した溶液（醤油とか．．）が規定された容積の場合
の２つのひょうせんが記載されている場合があります。工場内でしょうから多分温度はほぼ一定でしょう。すくなくとも１回は校正してください。比重を測定すると考えると温度の誤差（容積の変化）が結構ありますから。

補足

補足説明させていただきます。
容器の中には羽があり、常時回転して中身を均一にしています。
ですから温度も均一です。しかし、外気温と容器内の温度は同じでは
ありません。なので、メスにサンプリングして（ひょうせんよりちょっと上まで）レベルをじっと見ているとわずかに上下します。
そこで、ひょうせんの少し上までサンプリングしたら、素早くデジタル温度計で液の温度を測定し、また素早くレベルをひょうせんに合わせます。
（スポイトで吸って）
ひょうせんにあわせたら密栓して、レベルをみてると外気温が容器より高いか低いかによって上下しますが、すでに、ある温度のときの量は確定してるので、サンプルの温度（メスにサンプリングした時の温度）と密度（現場
的感覚の密度）の関係がでるだろうと思っています。
密度は（サンプリング後の重量－メス重量）/メスサンプル量（５００）で求めます。メスにはひょうせんはひとつです。

私は教えてｇｏｏの使い方がよくわからないので、大変失礼ですが
ｐｏ-ｎｅｔさんに連絡します。
「私はやっぱりばかです。ですが、もう少しがんばります。上から順に理屈も考えながらやっています。」

回答No.2

noname#21649

計算方法は既に記載されているので．仮定条件だけ。
液体Pと液体ｎを混ぜたときの体積は混ぜる前の体積の和に等しい

という条件が成り立つときに限るとゆう条件がつきます。多くの場合には重さの有効桁を考えるとこの条件は満足していると思います。もし不安であれば．ピペット・メスフラスコ・比重瓶を使って図ってみてください。比重瓶で一部検定証印がついていない製品が出回っています。天秤で容積を校正することを忘れずにしてください。１－３ｃｃ狂っている場合もありますから。

お礼

edogawaranpoさん、ありがとうございます。
比重瓶というものがあることを私は始めて知りました。
メスフラスコは５００ＣＣの物を使う予定です。
これから先どんな問題が出てくるか予想できませんが、メスフラスコで
素早く密度を測って濃度が１０％以下であるかどうかをガスクロを使わずに
素早く判断しようと考えています。メスフラスコでサンプリングして密度を
現場で求めるのは便利ですが、当然誤差もでると思いますので、濃度と
密度にどの程度の誤差が出るのか、誤差があっても濃度と簡単な方法で
測った密度に一定の関係があれば式で補正しようと思います。
「こんな簡単な問題が解けなくてどうやって補正するんじゃい」と笑われ
そうですが、頭の限界だからしょうがないです。その前に最初から計算方法がわからなくて質問させていただきました。”密度＝重さ/体積”しか知らない私には難問です。ありがとうございました。