微分方程式の数値解法

質問

2階の微分方程式で、
例えば、初期条件が、y(0)=0、y(1)=0のような
「globalな」ものだった場合って、どのように数値的にとけばよいのでしょう？
普通、数値解法って、y(0)=0、y'(1)=0のような
局所的に折れ線をつなげていくじゃないですか・・・？
質問の場合には、その解法だと恐ろしく面倒ですよね。

回答No.1

chukanshi · ベストアンサー

このような場合には、
y(0)=0,y'(0)=k
と置いて、kをいろいろな値にとって
微分方程式を数値的に解きます。
そして、y(1)=0となる条件の元で、
kの値を決めてやります。そうして
求まったy(x)が解です。

プログラムでかくと、

定義
eps=10E-8
y10=-10 :y'(0)の初期値
step=1.E-2 :y'(0)を変化させる１ステップの大きさ

y00=0 :初期条件
y01=0 :初期条件

本体

While(k<10)

サブルーチン
（y00=0,y10=kを初期条件として微分方程式を解く。
解いた結果、y(1)をy0endとして返す。）

if(|y0end-y01|<eps)

Then End（プログラム終了）
else(k=k+step)

End while

みたいな感じで解きます。

アルゴリズム的には、「shooting method」といいます。
この言葉は、日本語の教科書には余り出ていませんが、
英語の数値計算の辞書のように厚い本には、
「shooting method」と出ています。

たとえば、こんな本には出ています。

Numerical Recipes in Fortran
William H. Press (編集), Saul A. Teukolsky (著), William T. Vetterling (著)
ハードカバー - 963 p / 2nd 版 (1992/01/15)
Cambridge University Press ; ISBN: 052143064X

読んでみてください。

お礼

ありがとうございます。
やっぱりそういう方法しかないですよね。
なんか超絶技巧な技があるのかと思いましたが。