放物線の入射角・反射角の計算

質問

微積分の問題です。問題は英語で書かれています。

原文: Show that the angle of incidence equals the angle of reflection for the parabola y^2=4x at the point (0.5, √2). The angle of incidence is measured between the horizontal line through this point and the tangent line at this point. The angle of reflection is measured between the focal line to this point and the tangent line at this point. Note: The focus for this parabola is at (1, 0).

日本語訳: 放物線 y^2=4x 上の点(0.5, √2)での入射角と反射角が同じであることを証明せよ。入射角は、この点を通る水平線とこの点に対する接線との間の角度を指し、反射角は、この点への焦点線とこの点に対する接線との間の角度を指す。注意: この放物線の焦点は(1, 0)である (と訳してみました)。

先生は

tan θ=|(M1-M2)/(1+M1-M2)|

を使え、とヒントをくれました。
でも解法は教えてくれませんでした。
自分でやったところまで書きます。
まず、ここでの水平線は y=√2 で良いですか?

放物線上の点(0.5, √2)から焦点(1, 0)への傾きは
y(1-0.5)=x(0-√2)
0.5y=-√2x
y=-2√2x
Y軸との交点 b は傾きに焦点の位置を代入して
0=-2√2*1+b
b=2√2
よってy=-2√2x+2√2x

放物線上の点(0.5, √2)の接線は
グラフを見ながら勘で y=√2x+√2/2 としてみると
なんとぴったりでした。
しかし、理由が分かっていません。

…分かるのはここまでです。
これから先はどうすればよいのでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

やり方が正しいか自信がないですが。

まず、放物線上の点(0.5, √2)の接線について、
放物線の式は y^2=4x で、点(0.5, √2)での傾きを調べたいので、x>0,y>0に限定して、　y=2x^(1/2)と変形します。
これをxについて微分して、y'=1/√x
よって、x=0.5=1/2での傾きは　1/(√1/2)=√2 とでます。
接線の式を y=√2x+p とおいて、x=0.5,y=√2を代入すれば p=√2/2となり式はy=√2x+√2/2 とでます。

入射角はこの接線の傾き(tan)そのものです。
反射角は接線y=√2x+√2/2 と焦点線y=-2√2x+2√2x のなす角です。
このtanを求めるヒントがtan θ=|(M1-M2)/(1+M1-M2)| です。
つまり、反射角のtanが√2であることを示せば良いと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

そう、接線の計算は微分するんでした。
なんとか解けました!
ありがとうございました。

回答No.3

KaitoTVGAMEKOZOU

大学への数学・数学ショートプログラムのＰ１５４ページ参照！但し、質問者が日本人であることに限る。

あと、接線の式を出したりするのはあまり、上手くない。そんなの出したりするのは時間がもったいない。このような考え方は極力排除されたい。

お礼

「大学への数学・数学ショートプログラム」というのが何だか、まず分かりませんでした。

回答No.2

zabuzaburo

水平線と焦点線のなす角の二等分線を求めてみて，
それが接線と一致することを示しても良いのでは？
水平線は「 0・x + 1・y - √2 = 0」
焦点線は「2√2・x + 1・y - 2√2 = 0」
と書けます．
二等分線上の点(X,Y)はこの両者から等距離にあるので，
「点と直線の距離の公式」を用いると
|0・X + 1・Y - √2|/√(0^2 + 1^2) = |2√2・X + 1・Y - 2√2|/√{(2√2)^2 + 1^2}
整理して
3|Y - √2| = |2√2・X + Y - 2√2|
|3Y - 3√2| = |2√2・X + Y - 2√2|
絶対値が等しいということは(1)本当に等しい(2)プラスマイナスが違う
(1)の方を考えると
3Y - 3√2 = 2√2・X + Y - 2√2
Yについて整理すると
Y = √2・X + ( √2 /2)
となり接線と一致しますね．
(2)の方は(1)と垂直な「もう一本の2等分線」です．

お礼

ご回答ありがとうございます。

そういう解き方もあるんですね。