解き方を教えて

質問

２桁の正の整数ｎと、その整数の十の位と一の位を入れかえた２桁の整数との和が、ある自然数の２乗になる。このようなｎのうちで最も小さい数は？

回答No.1

hiromuy · ベストアンサー

x,yを１桁の自然数、aを自然数とすると、
n=10x+y

問題の条件から、
(10x+y)+(10y+x)=a^2
↓
11(x+y)=a^2

ここで、「11」は因数分解出来ないため、上式を満たす(x+y)の最小値は、11である。
x+y=11を満たすx,yの値は、
x=2,y=9
x=3,y=8
・
・
・
x=9,y=2
従って、nの最小値は、x=2,y=9の場合で、n=29

だと考えます。

お礼

11(x+y)=a^2が11になるのが解りません。右辺は関係ないんですか？しかし何となく解き方が解りました。ありがとうございました。

回答No.3

hiromuy

#1の補足です。
どうしてx+y=11と決定したかというと、x+yが最小値を取れば、n(=10x+y)も最小となり得るからです。

右辺のa^2は、等式で表現したかったため、作っただけです。特に必要はありませんが、分かりやすくするために設けました。

また、
(10x+y)+(10y+x)
=10x+x+y+10y
=11x+11y
=11(x+y)

といった式の変形です。

お礼

どうもありがとうございます。右辺は特に必要ないんですね。

回答No.2

8327

ｎ＝10ｘ+ｙとした場合（0＜ｘ＜10，0＜ｙ＜10）
　ｎとその十の位と一の位を入れ替えた整数は　ｘ+10ｙ
　よって両整数の和は　（10ｘ+ｙ）+（ｘ+10ｙ）＝11（ｘ+ｙ）
　11は自然数なので、11（ｘ+ｙ）がある自然数の二乗で最小のものであるためにはｘ+ｙ＝11
　最小の数あるので、ｘ＝2，ｙ＝9（ｎ＝29）
　ではないのでしょうか。

お礼

ありがとうございます。2行目までは解りますが3行目の、(10x+y)+(x+10y)=11(x+y)の11が何で出て来たのか解りません。