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長方形の中の網目状に道がある。対角間を最短距離で進む時、道順は何通りあるか?

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お礼率 76% (99/130)

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図が悪いのですが、長方形の中に縦4本横3本の線が引いてあります。(網目状になっています。)
長方形の右下をA左上をBとします
AB間を最短距離で進む時、道順は何通りあるか?

本日の数学の問題です。いったい何通りあるのですか?気になって仕方ありません。

ぼくは40本だと思うのですが。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.6
レベル10

ベストアンサー率 32% (64/196)

hikaru_macさん、stomachmanさんのおっしゃる通りで、
厳密な議論に基づいた回答だと思います。
私は別の考え方をしてみます。

B━┳━┳━┳━┓
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━g━e━c
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━f━d━b
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┗━┻━┻━a━A

上の図で説明します。
A点からa点までは明らかに1通り、A点からb点へも1通りです。
ではd点は?
--これはa点を通るコースとb点を通るコースがあるので2通りです。
c点は?
--これは明らかに1通りです。
e点は?
--これはc点を通るコースとd点を通るコースなので、1+2=3通り。
f点は?
--これはA-d-gを結ぶ線に対してe点と対称なので、e点と同じく3通り。
g点は?
--e点を通るコースとf点を通るコースがあるので、3+3=6通り。
つまり
B━┳━┳━┳━┓
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━6━3━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┣━╋━3━2━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
┗━┻━┻━1━A
となります。この議論をB点まで進めていくと、
35━20━10━4━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
15━10━6━3━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
5━4━3━2━1
┃ ┃ ┃ ┃ ┃
1━1━1━1━A
となり、35通りと答えが出ます。

ここまで進めていくと、鋭い方は気がつくと思いますが、
数学で習ったパスカルの三角形と同じです。つまり
      1   1
     1  2  1
    1 3   3 1
   1 4  6  4 1
  1 5 10   10 5 1
 1 6 15  20  15 6 1
1 7 21 35   35 21 7 1

がパスカルの三角形ですが、逆三角形
  a b
   c
の部分は、c=a+bになっているというものです。
このパスカルの三角形の各行は、二項定理つまり(x+y)^nを展開した時の
係数の並びということも高校数学で習いました。
そしてこの係数はnCrで表されることもご存知でしょう。
問題のB点は7C3(7と3は下に小さく書いたものとします)=35です。

これでなぜコンビネーションが出てくるのかもおわかりかと思います。

社内で情報処理試験対策講座の講師をしていた時、この説明をして
わかりやすいと好評でした。オンラインではなかなか説明しにくいですが。
お礼コメント
iceman2

お礼率 76% (99/130)

ほほぉ。
かなりわかりやすかったです。
とても参考になりました。

ありがとうございました
投稿日時 - 2002-02-27 22:02:54
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  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 20% (38/185)

マス目は3×3でいいんですよね? 質問の文と図がかみあってないような、、、? AからBに進むのに、左のキーを3回、上のキーを3回たたけばよい。 左3回上3回。 たたく順番がいろいろあって、それぞれが異なる道順になっている。 たたく順番(コマンド入力手順)は全部で何通りか を考えれば良い。 「左」という文字と「上」という文字の並び替えの問題と同じで その総数は 6C3となる。(Cはコ ...続きを読む
マス目は3×3でいいんですよね?
質問の文と図がかみあってないような、、、?

AからBに進むのに、左のキーを3回、上のキーを3回たたけばよい。
左3回上3回。
たたく順番がいろいろあって、それぞれが異なる道順になっている。
たたく順番(コマンド入力手順)は全部で何通りか を考えれば良い。

「左」という文字と「上」という文字の並び替えの問題と同じで
その総数は
6C3となる。(CはコンビネーションのC。両端の数字はは下に小さくかいたつもり。)
6C3=(6*5*4)/(3*2*1)=20

こたえは20通りではないでしょうか?

コンビネーションとか、気になったらまた質問して下さい。
補足コメント
iceman2

お礼率 76% (99/130)

あ、すみません。
勘違いで、図が、おかしいですね。
正確には、マス目は3×4です。
長方形の中に、縦3本 横2本の線が引いてあります。

でも、ありがとうございました。

コンビネーションとは何ですか?
投稿日時 - 2002-02-26 23:48:03

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 25% (624/2491)

図のままですと、右下Aからの道筋は2通り、2通りいった次は、また2通り、その次も2通り、その後は最短距離ですから1通りしか選択できません。 従って、 2×2×2×1=8通り 説明文の通りですと、 2×2×2×2×1=16通り で、どうでしょう? ...続きを読む
図のままですと、右下Aからの道筋は2通り、2通りいった次は、また2通り、その次も2通り、その後は最短距離ですから1通りしか選択できません。

従って、
2×2×2×1=8通り

説明文の通りですと、
2×2×2×2×1=16通り

で、どうでしょう?
お礼コメント
iceman2

お礼率 76% (99/130)

済みません。図、分ともに間違いです。
何を錯乱していたのやら(笑

ありがとうございました
投稿日時 - 2002-02-27 21:50:40
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 26% (81/308)

式は分からないですが、数えてみたら20本でした。 ...続きを読む
式は分からないですが、数えてみたら20本でした。
お礼コメント
iceman2

お礼率 76% (99/130)

ぼくも数えてみたんですよ。
デモ、断念しました。。。。

ありがとうございました
投稿日時 - 2002-02-27 21:51:35
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

 長方形の「中」に縦4本横3本ですよね。図では全然そうは見えないが… と思ったら、「長方形の中に、縦3本 横2本の線が引いてあります。」という訂正ですか。なるほど。  ということは、長方形の角から出発したくても、長方形の角に道が来てないから動けません。答は0通り。  あ、いやいや、だとすると、きっと「長方形の辺そのものも道」ってことでしょうね。そうするとですよ。  隣り合う角または交差点の間を ...続きを読む
 長方形の「中」に縦4本横3本ですよね。図では全然そうは見えないが…
と思ったら、「長方形の中に、縦3本 横2本の線が引いてあります。」という訂正ですか。なるほど。
 ということは、長方形の角から出発したくても、長方形の角に道が来てないから動けません。答は0通り。

 あ、いやいや、だとすると、きっと「長方形の辺そのものも道」ってことでしょうね。そうするとですよ。
 隣り合う角または交差点の間を移動するのを1回の動き、と数えます。横に動くのを「横」縦に動くのを「縦」と書きます。最短距離、ってのはつまり横4回、縦3回動くってこと。都合7回動く訳です。7つの動きの中に、縦が3つ。残りが横。7つの中から3つ選んで、それを縦ということにすれば、残りは横。てことは、
「7つの中から3つ選ぶやり方は何通りあるでしょうかっ。」という組み合わせ(combination)の数を求めればよい。
7C3 = 7! /(3! 4!) = (7×6×5)/(3×2) = 7×5 = 35 通り。

combination(コンビネーション、組み合わせ)については、「順列 組み合わせ」で過去の質問を検索すれば解説が見つかります。例えば↓
お礼コメント
iceman2

お礼率 76% (99/130)

ちょっと難しくてよく分かんないんですけど、35通りみたいですね。
ありがとうございました
投稿日時 - 2002-02-27 21:55:14
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 20% (38/185)

No.1の回答者のhikaru_macです。 図は ┏┳┳┳┓ ┣╋╋╋┫ ┣╋╋╋┫ ┗┻┻┻┛ でいいのですか? 実は私はMacを使っているのでもしかしたらアスキーアート(文字の絵)はうまく見えていないかも知れません。(等幅フォントにすればいいのか、はてな) ちなみにもちろん、線の部分を通るんですよね? まさかマスの中を進むんじゃないですよね? えーと、そのようにす ...続きを読む
No.1の回答者のhikaru_macです。
図は

┏┳┳┳┓
┣╋╋╋┫
┣╋╋╋┫
┗┻┻┻┛

でいいのですか?
実は私はMacを使っているのでもしかしたらアスキーアート(文字の絵)はうまく見えていないかも知れません。(等幅フォントにすればいいのか、はてな)

ちなみにもちろん、線の部分を通るんですよね?
まさかマスの中を進むんじゃないですよね?

えーと、そのようにすると、、、、
左4回上3回。
コマンドの入力は例えば
・左左左左上上上
ほかにも
・左左左上左上上
などなど。
これらを全部書き出してみると、

(7*6*5*4*3*2*1)÷{(4*3*2*1)*(3*2*1)}
=(7*6*5)/(3*2*1)
=35
35通りとなります
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ちなみにコンビネーションとは高校数学の教科書の「場合の数、組み合わせ」という項目で勉強します。
あなたの学年とかが分からないので説明は今回もいたしません。
この程度の問題ならしらみつぶしでもいいと思います
(200*300のマス目になると、さすがにしらみつぶしは出来ない)
(もししりたければ、あなたの学年にもよりますが一応勉強してからもう一度御質問ください。もちろん、あなたの現在の状況によってはわたしが説明する事もあり得ますが。)

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No.2の回答ですが
「その後は最短距離ですから1通りしか選択できません。 」
と言っているけど、はしっこを選んでいけばは、確かに1通りしかないけれど
上に行ったり左に行ったりした場合は、最短経路が1通りではないと思います。それで、どの私の答えとも違った回答が出てしまったのだと思われます。
お礼コメント
iceman2

お礼率 76% (99/130)

図はその通りです。(当方WINですが、図はちゃんと分かりました。)
道は、線を通ります。

ぼくは中三です。調べたら、コンビネーションとか何となく分かった気がしました。

ありがとうございました
投稿日時 - 2002-02-27 21:58:51
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