• 締切済み

曲面積

曲面Sをr(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k [i,j,kは単位ベクトル]として、ベクトルru=@x/@u(u,v)i+@y/@u(u,v)j+@z/@u(u,v)k,rv=@x/@v(u,v)i+@y/@v(u,v)j+@z/@v(u,v)kとしたとき、面素が△Sが、||(△ui)ru×(△vi)rv||と表せるのは何故でしょうか。（面素の平行四辺形の辺がそれぞれ、、(△ui)ruと(△vi)rvとで表せるという事。）どなたか、教えて下さい。

みんなの回答

  • tgb
  • ベストアンサー率78% (32/41)
回答No.1

　だいぶ長い間回答がなかったようですが、問題の内容が うまく伝わっていないためではないかと思います。私も問題 をきちんと解釈できたか自信はないです。参考程度と言う ことで、考え方だけ示します。 　(u,v)面にdu、dvの間隔で線を引いてできる長方形 が面素になると思います。これを、 　x=x(u,v) 　y=y(u,v) 　z=z(u,v) で(x,y,z)空間に変換すると曲面ができるので、(u,v)面上の 長方形がこの曲面上でどう変形されるかを見てみます。 (u,v)面上に面素の３点を考えます。 　P0　(u,v) 　P1　(u+du,v) 　P2　(u,v+dv) これが(x,y,z)空間でQ0、Q1、Q2に変換されたとします。 すると、 　Q0　(x,y,z) 　Q1　(x+(@x/@u)du,y+(@y/@u)du,z+(@z/@u)du) 　Q2　(x+(@x/@v)dv,y+(@y/@v)dv,z+(@z/@v)dv) （u,v）面上の長方形は(x,y,z)空間で平行四辺形になります ので辺Q0-Q1と辺Q0-Q2で作られる平行四辺形が(x,y,z)空間 での面素と言うことになります。この２つの辺をベクトル で表す（＠は偏微分記号を表す）と、 　q1=((@x/@u)du,(@y/@u)du,(@z/@u)du) 　q2=((@x/@v)dv,(@y/@v)dv,(@z/@v)dv) これをベクトルr： 　r=(x,y,z) を使って表すと 　q1=(@r/@u)du=rudu　　(ru=@r/@u) 　q2=(@r/@v)dv=rvdv　　(rv=@r/@v) 大きさがこのベクトルで作られる平行四辺形の面積で、方向 がこの面に垂直なベクトルは 　q1×q2 で表されるので結局(x,y,z)空間での曲面の面素は 　dS=||q1×q2|| 　　=||rudu×rvdv|| と表されることになります。 　最終的な形が質問者の示した、 　||(△ui)ru×(△vi)rv|| と異なりますが、このiがなければ一致します。

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