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行列の、直交行列による対角化

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お礼率 19% (12/63)

     111
行列A=(111)を直交行列により対角化せよ。
     111
         という問題なんですけど、解けないんです(泣)
    
  どなたか、教えてください。
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回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 33% (3/9)

まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。3次とします。 正方行列Aのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列 P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33) を対角変換行列といいます。 そして、行列A ...続きを読む
まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。3次とします。

正方行列Aのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列
P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33)
を対角変換行列といいます。
そして、行列Aは以下のようにPによって対角化されます。
P-1AP=(λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3)

そして問題ですが、まずAの固有値を求めなければなりません。
|A-λI|=0を解きます。
|1-λ 1 1
1 1-λ 1
1 1 1-λ|
=(1-λ)^3+1+1-3(1-λ)=(3-λ)λ^2
なので固有値は λ1=0,λ2=0,λ3=3
となり,固有ベクトルPは
P=V =
0.4082 0.7071 0.5774
0.4082 -0.7071 0.5774
-0.8165 0 0.5774
となり、P^-1AP=(0 0 0.0000
     0 0  0.0000
     0 0 3.0000)
となります。


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

問題: 実n次正方行列Aについて ・Aは直交行列で対角化できるか? ・できるならAを直交行列で対角化せよ 手順: (1) Aが対称行列であることを確認する 定理:「実正方行列AにおいてAが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はAが対称行列であることである」 定理:「複素正方行列AにおいてAがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はAが正規行列であること ...続きを読む
問題:
実n次正方行列Aについて
・Aは直交行列で対角化できるか?
・できるならAを直交行列で対角化せよ

手順:
(1)
Aが対称行列であることを確認する
定理:「実正方行列AにおいてAが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はAが対称行列であることである」
定理:「複素正方行列AにおいてAがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はAが正規行列であることである」
(2)
固有値を求める
Eをn次単位行列として|A-λ・E|=0の解を求める
λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]をそれぞれ
|A-λ・E|=0の
k[1],k[2],k[3],・・・,k[m]重根とする
k[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[m]=nである
λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]はすべて実数である
定理:「実正方対称行列の固有値はすべて実数である」
定理:「エルミート行列の固有値はすべて実数である」
(3)
固有ベクトル空間を求める
λ[i]の固有ベクトルをv[i]とするとv[i]は
(A-λ[i]・E)・v[i]=0から求めることができる
この式を満たすv[i]の集合はベクトル空間(固有ベクトル空間)V[i]を形成しその次元はk[i]である
各iについてV[i]の基底を求める
(4)
シュミットの直交化法によって
各iについてV[i]の基底を正規直交化する
定理:「実正方対称行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
定理:「正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
(5)
(4)により求めた基底をすべて(n個)並べて行列Pを作る
Pはすでに直交行列になっている
すべてのiについてλ[i]をk[i]個対角に並べてn次対角行列Λをつくる
するとP^(-1)・A・P=Λとなっている
ただしP作成時固有ベクトルを並べる順とΛ作成時固有値を並べる順はあわせる
定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次実ベクトルを並べてできる行列は直交行列である」
定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次複素ベクトルを並べてできる行列はユニタリ行列である」

定義:
単位行列:対角成分がすべて1の対角行列E
対称行列:A^T=Aである行列A
直交行列:A^T・Aが単位行列である実行列A
エルミート行列:A^*=Aである行列A
ユニタリ行列:A^*・Aが単位行列である行列A
正規行列:A^*・A=A・A^*である行列A
ただし
A^TはAの転置行列
A^*はAの複素共役転置行列

単位行列、実対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列はすべて正規行列である
  • 回答No.3
レベル7

ベストアンサー率 42% (3/7)

固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう~ 省略して、固有値は0(重解)と3です。 固有ベクトルは X1=c1(-1 1 0)+ c2(-1 0 1) と X2=c3(1 1 1)です。 3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。 (-1 1 0)x(-1 0 1)=-1(0でない) (-1 0 1)x(1 1 1)=0 これより、 ...続きを読む
固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう~
省略して、固有値は0(重解)と3です。
固有ベクトルは
X1=c1(-1 1 0)+ c2(-1 0 1)

X2=c3(1 1 1)です。

3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。

(-1 1 0)x(-1 0 1)=-1(0でない)
(-1 0 1)x(1 1 1)=0
これより、
(a b c)x(-1 0 1)x(1 1 1)=0になるように、
abcと求めばいいです。つまり、
(a b c)x(-1 0 1)=0
(a b c)x(1 1 1)=0
連立して、解けます。
(abc)=(1 -2 1)

これより、直交ベクトルができます。
対角化ベクトルは
000
000
003
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