行列の、直交行列による対角化

質問

１１１
行列Ａ＝（１１１）を直交行列により対角化せよ。
　　　　　１１１
　　　　　　　　　という問題なんですけど、解けないんです（泣）

　　どなたか、教えてください。

回答No.3

kawaisoo

固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう～
省略して、固有値は０（重解）と３です。
固有ベクトルは
X1＝ｃ１（－１　１　０）＋　ｃ２（－１　０　１）
と
X2＝ｃ３（１　１　１）です。

3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。

（－１　１　０）ｘ（－１　０　１）＝－１（０でない）
（－１　０　１）ｘ（１　１　１）＝０
これより、
（a b c)ｘ（－１　０　１）ｘ（１　１　１）＝０になるように、
ａｂｃと求めばいいです。つまり、
（a b c)ｘ（－１　０　１）＝０
（a b c)ｘ（１　１　１）＝０
連立して、解けます。
（ａｂｃ）＝（１　－２　１）

これより、直交ベクトルができます。
対角化ベクトルは
０００
０００
００３

回答No.2

nuubou

問題：
実ｎ次正方行列Ａについて
・Ａは直交行列で対角化できるか？
・できるならＡを直交行列で対角化せよ

手順：
（１）
Ａが対称行列であることを確認する
定理：「実正方行列ＡにおいてＡが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はＡが対称行列であることである」
定理：「複素正方行列ＡにおいてＡがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はＡが正規行列であることである」
（２）
固有値を求める
Ｅをｎ次単位行列として｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０の解を求める
λ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・，λ［ｍ］をそれぞれ
｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０の
ｋ［１］，ｋ［２］，ｋ［３］，・・・，ｋ［ｍ］重根とする
ｋ［１］＋ｋ［２］＋ｋ［３］＋・・・＋ｋ［ｍ］＝ｎである
λ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・，λ［ｍ］はすべて実数である
定理：「実正方対称行列の固有値はすべて実数である」
定理：「エルミート行列の固有値はすべて実数である」
（３）
固有ベクトル空間を求める
λ［ｉ］の固有ベクトルをｖ［ｉ］とするとｖ［ｉ］は
（Ａ－λ［ｉ］・Ｅ）・ｖ［ｉ］＝０から求めることができる
この式を満たすｖ［ｉ］の集合はベクトル空間（固有ベクトル空間）Ｖ［ｉ］を形成しその次元はｋ［ｉ］である
各ｉについてＶ［ｉ］の基底を求める
（４）
シュミットの直交化法によって
各ｉについてＶ［ｉ］の基底を正規直交化する
定理：「実正方対称行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
定理：「正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
（５）
（４）により求めた基底をすべて（ｎ個）並べて行列Ｐを作る
Ｐはすでに直交行列になっている
すべてのｉについてλ［ｉ］をｋ［ｉ］個対角に並べてｎ次対角行列Λをつくる
するとＰ＾（－１）・Ａ・Ｐ＝Λとなっている
ただしＰ作成時固有ベクトルを並べる順とΛ作成時固有値を並べる順はあわせる
定理：「ノルム１で互いに直交するｎ個のｎ次実ベクトルを並べてできる行列は直交行列である」
定理：「ノルム１で互いに直交するｎ個のｎ次複素ベクトルを並べてできる行列はユニタリ行列である」

定義：
単位行列：対角成分がすべて１の対角行列Ｅ
対称行列：Ａ＾Ｔ＝Ａである行列Ａ
直交行列：Ａ＾Ｔ・Ａが単位行列である実行列Ａ
エルミート行列：Ａ＾＊＝Ａである行列Ａ
ユニタリ行列：Ａ＾＊・Ａが単位行列である行列Ａ
正規行列：Ａ＾＊・Ａ＝Ａ・Ａ＾＊である行列Ａ
ただし
Ａ＾ＴはＡの転置行列
Ａ＾＊はＡの複素共役転置行列

単位行列、実対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列はすべて正規行列である

回答No.1

nasu0911

まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。３次とします。

正方行列Ａのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列
P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33)
を対角変換行列といいます。
そして、行列Aは以下のようにPによって対角化されます。
P-1AP=(λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3)

そして問題ですが、まずAの固有値を求めなければなりません。
|A-λI|=0を解きます。
|1-λ 1 1
1 1-λ 1
1 1 1-λ|
=(1-λ)^3+1+1-3(1-λ)=(3-λ)λ^2
なので固有値は　λ1=0，λ2=0，λ3=3
となり，固有ベクトルPは
P=V =
0.4082 0.7071 0.5774
0.4082 -0.7071 0.5774
-0.8165 0 0.5774
となり、Ｐ^-1ＡＰ=(0 0 0.0000
　　　　 0 0 　0.0000
　　　　 0 0 3.0000)
となります。