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複素数のn乗根の問題です

nanjamonjaの回答

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回答No.2

複素数平面上で0を中心として半径1 の円周上に1をA[1]として半時計周りに順に A[2],A[3],・・・,A[n]とする。 A[2],A[3],・・・,A[n]の表す複素数はみんな1のn乗根 (1以外)なので   z^n=1の解   (z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)+・・・+z+1)=0   z^(n-1)+z^(n-1)+・・・+z+1=0   を満たす。   この解はz,z^2,z^3,・・・,z^(n-1) とおける。  これらを解とするxの方程式は x^(n-1)+x^(n-1)+・・・+x+1=0 であり,また (x-z)(x-z^2)(x-z^3)・・・(x-z^(n-1))=0 の解でもあるので、2つの方程式の左辺は同じ式 両方にx=1を代入して (1-z)(1-z^2)(1-z^3)・・・(1-z^(n-1))=n 両辺の複素数の絶対値を取ると |1-z||1-z^2||1-z^3|・・・|1-z^(n-1)|=n これは A[1]A[2] ×A[1]A[3]×・・・・・・・・×A[1]A[n] = n を表す。

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質問者

お礼

>これらを解とするxの方程式は x^(n-1)+x^(n-1)+・・・+x+1=0 であり,また (x-z)(x-z^2)(x-z^3)・・・(x-z^(n-1))=0 の解でもあるので、2つの方程式の左辺は同じ式 両方にx=1を代入して nanjamonjaさんお返事どうもありがとうございます。ここでなぜ「両方にx=1を代入して」になるのかがよく分からないのですが、これは問題文の条件から出てきたものなのでしょうか。どうしてx=1を代入できるのかよく分かりません。すいません、もう一度お答えいただけるでしょうか。

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