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あと40分でタイムオーバー

次の問題がいまいちわかりません・・・。 皆さん教えてください↓ 一辺が1の立方体ABCD-EFGHを、対角線AGを含む平面で切断するとき、 切り口の面積の最小値を求めよ。

質問者が選んだベストアンサー

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  • NobNOVA
  • ベストアンサー率34% (8/23)
回答No.4

とっくにタイムオーバーだけど(自分なりの)回答。 率直に言えば、答えは(root6)/2。 (Proof) 理由は、立体の対角線AGを含む断面図は、 必ず平行四辺形になり、その平行四辺形は必ず 平行四辺形の対角線AGを含む。 ここで、切り口の平行四辺形と辺BGとの交点をP、 また、辺DHとの交点をQとする。 このとき、AGは長さ一定で、 切り口の平面の面積は、2つの対角線の積に比例する (要証明、菱形等を例に取れば理解は容易だが、 一般的な四角形については演習問題とする)。 従って、もうひとつの対角線PQが最小になるところを探せば、 そこが切り口の平面が最小となる切り方である。 ここで、AGは固定されてるので、AGとPQが交わる点は 一意に決まり、PQの最小値は(見れば分かると思うが) BP=FP(またはDQ=HQ)となるところである (要証明、この証明は微積の知識を必要とする)。 このような切り口の図形は菱形となり、 あとはその面積を普通に計算すればよい。 (Proof end) 補足:ちなみに最大値はroot2で、 辺ABまたは辺ADを通るように切った場合の切り口。 このとき切り口は長方形になる。 これが最大であることの証明は、 先ほどの証明と同様なので省略。

その他の回答 (3)

  • yagoocom
  • ベストアンサー率46% (12/26)
回答No.3

した、間違えました。 最後はAの2乗です。

  • yagoocom
  • ベストアンサー率46% (12/26)
回答No.2

1辺をAと仮定します。 断面図を菱形と考え、短い対角線が"ルート2"A。 1:2:"ルート5"より、1辺の長さが"ルート5"A/2 よって、長い対角線は2。 菱形の面積の公式より、 「"ルート2"A*2/2="ルート2"A」ですかね? 自信なし。

  • full3002
  • ベストアンサー率36% (17/46)
回答No.1

切り口の面積ということは 四角形ABFEを横切る切り口が辺EF上でEからxの位置にあると考えれば 切り口の面積sは s=√(1+x^2) * √(1+(1-x)^2) ですよね。 これを微分して極値を求めると、できると思います。 間違ってたらごめんなさい。 計算これからします。(自分計算遅いので…) お急ぎのようなのでまずは解法まで。

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