• ベストアンサー

収束の問題

すごい基礎的な問題だと思うのですが はずかしながらどうもうまくできないので質問します 実数列{an}n=1～∞がある bn=|an-(an+1)|とおく あるa∈Rがあってan→a（n→∞）となるとき Σ(n=1～∞)bnは収束するか？ 収束するなら証明を、そうでないなら反例をあげよ おねがいします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.2

反例として a(n+1)-a(n)＝{(-1)^(n-1)}/(2n-1) となる数列a(n)だと lim(n→∞）a(n) ＝a(1)+Σ(n=1～∞){(-1)^(n-1)}/(2n-1) ＝a(1)+π/4 で収束しますが Σ(n=1～∞)|a(n+1)-a(n)| ＝Σ(n=1～∞){1/(2n-1)} は∞に発散します

hismix
質問者

お礼

(-1)^(n-1)乗かー なるほどそれで絶対値なわけだ どうもありがとうございました

その他の回答 (1)

  • hitomura
  • ベストアンサー率48% (325/664)
回答No.1

b(n)=a(n)-a(n+1)ですから、 　Σ(k=1～n)b(k)={a(1)-a(2)}+{a(2)-a(3)}+…+{a(n)-a(n+1)} 　　　　　　　　=a(1)-a(n+1) となります。したがって、 　Σ(n=1～∞)b(n)=lim(n→∞){Σ(k=1～n)b(k)} 　　　　　　　　　=lim(n→∞){a(1)-a(n+1)} 　　　　　　　　　=a(1)-a となります。 　

hismix
質問者

補足

bn=|an-(an+1)|なので 一概にb(n)=a(n)-a(n+1)とはならないと思いますが どうでしょう？ この縦棒は絶対値の意味でお願いします ちょっとみにくかったです すいません

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 収束に関する証明問題

    ｛An｝(n＝0～∞)、｛Bn｝(n＝0～∞)を数列とし、Σ(n＝0～∞) |An|、Σ(n＝0～∞) |Bn|は収束するとする。このとき、 Cn＝Σ(m＝0～n) An－m × Bm と定めると、Σ(n＝0～∞) Cnは絶対収束することを示せ。 という証明問題がよく分かりません。分かる方、教えてくださると助かります。

  • 数列の収束に関する証明問題

    (1) ｛An｝(n＝1～∞)、｛Bn｝(n＝1～∞)を数列とし、Σ(n＝1～∞) An^2、Σ(n＝1～∞) Bn^2は収束するとする。このとき、 | Σ(n＝1～∞) AnBn | <= ( Σ(n＝1～∞) An^2)^1/2 × ( Σ(n＝1～∞) Bn^2)^1/2 を示せ。 (2)｛An｝(n＝1～∞) を数列とし、Σ(n＝1～∞) An^2は収束するとする。このとき、s>1/2ならば、Σ(n＝1～∞) n^(-s) × An は絶対収束することを示せ。 この二問の解き方がいまいち分かりません。分かる方、教えてくださると助かります。

  • 数列の収束について

    数列{an}が定数r(0<r<1)に対して、|an+1-an|≦r|an-an-1| (n=2,3,…) をみたすならば、{an}は収束することを示せ。 という問題です。 どのように証明すればよいのかまったくわからないので詳しく説明していただけると助かります。 よろしくお願いします。

  • 幾何学の問題が分かりません。

    幾何学の問題が分かりません。 何冊も参考書を見たのですが・・。 お手数ですが、ご回答いただけると助かります。 自然数の集合Ｎから実数の集合Ｒへの関数ｆ：Ｎ→Ｒに対して、自然数ｎの像ｆ(ｎ)をanとする。 a1、a2、・・an、、an+1・・、 を数列といい、{an}で表す。 Ｑ.次の問いについて、真であるものは証明を、偽であるものは反例を挙げよ。 (1)数列{an}の部分列{a2n}、{a2n-1}が同じ極限値に収束すれば、{an}も収束する。 (2)数列{an}の部分列{a2n}、{a3n}が同じ極限値に収束すれば、{an}も収束する。

  • 無限等比級数の極限の問題です。

    学校の問題集の問題なのですが。 次の命題の真偽を調べて下さい。偽のときはその反例をあげてください。 （注）{an}と{bn}は無限数列です １．lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=0 ならば,lim_(x→∞){an}{bn}=0 解答では　偽で反例は {an}=2n ,{bn}=1/n となっているのですが どうしてなのでしょうか？ ２．lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=＋∞ 　　ならば、lim_(n→∞)({an}-{bn})＝0 この問題は解答では　偽で反例は{an}=ｎ,{bn}=n^2 となっています。 教えて下さい。お願いします。

  • ルート3に収束することの証明

    数列anが、a1=2,an+1=(an+3/an)/2であるとき、n→∞にすると、anは√3に収束することを証明せよ。 この問題が分からないくて困っています。 相加相乗平均でan≧√3はすぐに出てくるのですが、これ以降どのように挟み撃ちにもって行けばいいのか分かりません。 どなたかよろしくお願いします。

  • 数列の極限問題

    a,bを2つの正の定数とし、数列｛an},{bn}を次のように帰納的に定義します。 a1 = a, b1 = b, an+1 = (an + bn)/2, bn+1 = √(an x bn) (n = 1,2,...) このとき、 (1) a >= bならば 　　a1 >= a2 >=....>= an >=...>= bn >=.....>= b2 >= b1 が成り立つことを証明してください。 (2)数列{an},{bn}は同じ極限値に収束することを証明してください。 よろしくお願いします。

  • 数学の漸化式の問題です

    １．｛a1}=2,n{an+1}=(n+1){an} を満たす数列｛an}に対して、答えよ 　（１）｛bn}=(ｎ＋１）/n×｛an} とおくとき、｛ｂｎ｝と｛ｂｎ＋１｝の間に成り立つ関係式？ 　（２）｛ｂｎ｝をｎの式で 　（３）｛an}をｎの式で ｛ｂｎ｝と｛ｂｎ＋１｝の式を考えて　｛ｂｎ＋１｝＝｛ｂｎ｝＋１/n　となったのですがあってるのかとこれからのやり方が。。。 ２．a1=1,{an+1}=√n+2/n×｛an}を満たす数列｛an}に対して、｛an}をｎの式で表せ こちらの方はいまいちよくわからなくて。。 すいませんが、詳しい解説と答えをお願いします＞＜

  • 数列の問題

    数列{an} を、a(1)=1 , a(n+1)=3an + 2・3^(n+1) (n=1,2,3.........)　で定義する。 bn=an/3^n とおくと、数列{bn}は 　b(1)=[ア] , b(n+1) = [イ]bn + [ウ] (n = 1,2,3......) を満たすので、一般項は[エ]とあらわされる。したがって、数列{an} の一般項は[オ]と表される。　 よってlim[n→∞] a(n+1)/an = [カ] 答え　ア　1/3 イ　1 ウ　2 エ　bn = 2n - 5/3 オ　不明　カ　3 オ　と　カ　の途中式を教えてください。式がわかり辛くてごめんなさい。

  • 極限の問題なのですが、、、教えてください!!

    各項が正である数列｛an}、｛ｂｎ｝に対し、隣り合う２辺の長さがan,bnである長方形 の面積をSn、周の長さをLnとする。（ｎ=１，２，３、、、） （１）｛an}が初項１、公比１/２の等比数列、｛ｂｎ｝が初項１、公比１/３の等比数列 であるとき∑（上が∞、下がｎ=１）Sn　　、∑（上が∞、下がｎ=１）Lnを求めよ。 （２）an=１/√（ｎ+１）+√ｎ　、ｂｎ=√（ｎ+１）+√ｎ/ｎ（ｎ+１）　（ｎ=１，２，３、、、、） のとき、∑（上が∞、下がｎ=１）Sn、∑（上が∞、下がｎ=１）Lnの 収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。 （２）が特に分かりません、、、、。 詳しい解説をよろしくお願いします!!

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する