積分の問題なんですが・・・。

質問

∫ルート(R*R-f*f*sinA*sinA)dA を解いていただきたいのですが？
いろいろ試行錯誤したものの、できなくて・・・。
よろしければお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

No.2 の回答でミスタイプしてしまいました．
他人様のミスタイプをなんとか言っていたら自分も...(^^;)

> なお，
> (2)　　E(k,φ) = ∫{0～φ} {1/√(1- k^2 sin^θ)} dθ
> が第１種不完全楕円積分です．

は

なお，
(3)　　K(k,φ) = ∫{0～φ} {1/√(1- k^2 sin^θ)} dθ
が第１種不完全楕円積分です．

と修正してください．
copy & paste のあと一部修正し忘れました．

ついでにちょっと．
φ=π/2 としたものを完全楕円積分と呼んでいます．
不完全楕円積分，完全楕円積分の簡単な数表は，
例えば岩波の数学公式集の第III巻に載っています．
Mathematica ですと，組み込み関数に不完全楕円積分，完全楕円積分があります．

お礼

返事が遅くなって申し訳ありませんでした。
いろいろ助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

tkfm さんの言われるとおりです．

R,f > 0 として R をくくり出すと
(1)　　R ∫√{1- k^2 sin^A} dA　　　k = f/R
になります．tkfm さんはちょっとミスタイプされたようです．

(2)　　E(k,φ) = ∫{0～φ} √{1- k^2 sin^θ} dθ
は第２種不完全楕円積分と呼ばれていて，
k=0,1 以外は(たとえ φ=π/2 でも)初等関数では表現できません．
φ=π/2 のときは E(k) と書き，第２種完全楕円積分といいます．
もちろん，k とφを決めれば積分値は決まりますが，
初等関数では表現できないと言うことです．

なお，
(2)　　E(k,φ) = ∫{0～φ} {1/√(1- k^2 sin^θ)} dθ
が第１種不完全楕円積分です．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191630
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=100266
などもご覧下さい．

回答No.1

tkfm

専門家じゃありませんが，具体的な数値解は求まりますがその関数は
(1/R)^2∫√(1-(f sinA)^2)dA
の形ですから数式的にそれ以上展開するのは無理では？

お礼

返事が遅くなって申し訳ありませんでした。
いろいろ助かりました。ありがとうございました。