微積分の問題です

質問

水平面上に8ａcmだけはなれた2定点Ａ，Ｈがあり、Ｈの真上の高さａcmのところに点Ｂがある。線分ＡＨ上に点Ｐをとり、最初Ｂに静止していた動点がＢＰ、ＰＡにそってＢからＡまで動く時、ＢＰ上では等加速度 {(ＢＨ)／(ＢＰ)}*g cm/sec^2ですすみ、ＰＡ上では動点がＰに達した時の速度の水平成分に等しい等加速度で進む。動点がＢからＡまで最短時間で到着するためにはＨＰをいくらにすればよいか。ただしgは正の定数である。という問題ですが、どうすればいいのか教えて下さい。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

「どうすればいいのか」というご質問だったと思います。
z = 2a
に到達する経過で、
・まず微分を正しく行うことが肝要です。例えば
> t1を微分してみると、a／(√2ga^3+2zga^2)
にはなりません。
・計算途中の式をその都度整理して、簡単な形に表すようにすると見通しがよく、間違いが少なくなると思います。
・式の変形に自信がない場合には、具体的な数値を代入して検算してみると良いでしょう。
・∂T/∂z = 0 という方程式をzについて解く訳ですが、a,zはどちらも正ですから、√(a^2+z^2)　などが掛け算の形で入っていたら、両辺を√(a^2+z^2)　で割って構わない。これは丁度、
a(x-1)=0 (ただしa>0)
という方程式は
(x-1)=0
と同じである（両辺をaで割って良い）というのと全く同様の事情です。

回答No.3

stomachman

「とてつもない値」が途中経過として合っているかどうか、チェックしてはおりませんが、要するにまたやりなおーし、でしょうね。

間違えないで計算しさえすれば、とても綺麗な答が出ます。z=の右辺は、実に２文字で表されますぞ。

補足

すみませんが書いていただけませんか?

回答No.2

stomachman

「微積分の問題」と仰る以上、v(t)からx(t)を出すには、
x(t) = ∫v(s) ds (s=0～t)
を計算すれば良いってのはご理解になっていると想定しました。
また、自由落下運動についてはご存知でしょう。加速度gのとき、速度v(t)は、v(0)=0として
v(t) = gt
落ちた距離x(t)は、x(0)=0として
x(t) = (1/2)g(t^2)
ご質問も、これと全く同じで、ただ加速度が(gza/(a^2+z^2))になってるだけの事です。

> あと、t1は、
は単なる計算間違い。やりなおーし！！

補足

ありがとうございます。
t1=√{2(a^2+z^2)}／√(ga)は合ってますよね?
t1を微分してみると、a／(√2ga^3+2zga^2)
(8a-z)/v(t1)は(8a-z)／{(gza*t1)/(a^2+z^2)}＝(8a-z)／[z√{2ga(a^2+z^2)}/(a^2+z^2)
={(8a-z)(a^2+z^2)}/[z√{2ga(a^2+z^2)}]でこれを微分すると
[{(8a-z)(a^2+z^2)}'*z√{2ga(a^2+z^2)}-(8a-z)(a^2+z^2)〔z√{2ga(a^2+z^2)}〕']／{2 z^2 ga(a^2+z^2)}
=【{-a^2-z^2+2z(8a-z)}*z√{2ga(a^2+z^2)}-{(8a-z)(a^2+z^2)}*[√{2ga(a^2+z^2)}+(2gaz^2)/√{2ga(a^2+z^2)}]】／{2z^2 ga(a^2+z^2)}と、とてつもない値になってしまい０になるzが分かりません。どうすればいいですか？

回答No.1

stomachman

BPに沿って移動する間の加速度がg(ＢＨ)／(ＢＰ)ってのは何の事でしょう。∠HBPをθとするとき、加速度がg cosθと言っているだから、gが重力加速度だと思えば、摩擦のない斜面をモノが滑り落ちてくる場合の加速度と丁度一致します。この加速度の方向は直線BPに沿っている。
　従って、BP上では、加速度の水平方向の成分は一定で、g cosθsinθです。
　ゆえに時刻tに於けるBP上での速度の水平方向成分v(t)は初速v(0)=0より
v(t) = (gcosθsinθ)t
ここで、HP=zと書くことにしますと
cosθsinθ = za/(a^2+z^2)
ですから
v(t)=(gza/(a^2+z^2))t
と書けます。するとBP上での水平方向の位置x(t)は、x(0)=0として
x(t) = (gza/(a^2+z^2))(t^2)/2
であって、点Pに到達する時刻、すなわちx(t1)=zとなる時刻t1が簡単に求められる。
さて、今度はPA上の移動です。「等加速度」なんて仰ってますが、幾ら何でも「等速度」の間違いじゃないかと思われます。すると点Aに到達する時刻Tは
T = t1 + (8a-z)/v(t1)
と表せます。あとは
∂T/∂z = 0
となるzを求めれば、Tの極値が求められます。これと、0≦z≦8aという条件から、Tを最小にするzが分かるはず。

補足

すみません。等速度の間違いです。
なぜx(t) = (gza/(a^2+z^2))(t^2)/2　なのでしょうか？速度×時間＝距離だと思うんですけど、/2というのは？
あと、t1は、
x(t1) = (gza/(a^2+z^2))((t1)^2)/2
(t1)^2=(2z(a^2+z^2))/gza
　　　=(2(a^2+z^2))/zaでいいんでしょうか？こうすると、
dT/dz=d√{2(a^2+z^2)/ga}/dz + d{(8a-z)/z}/dz
u=2(a^2+z^2)/gaとおくと
={du^(1/2)/du}*(du/dz) + d(8a/z)/dz - d1/dz
=4z/{2ga√(2(a^2+z^2)/ga)} -8az^(-2)
より0=dT/dzは
z^3=4a√(2(a^2+z^2)/ga)となってしまいます。どうすればいいのでしょうか？