三角関数 連立方程式

質問

sin(x+y)=sinx-siny・・・１
cos(x+y)=cosx-cosy・・・２

１，２の連立方程式を解く問題なのですが、解答が
１・・・2sin{(x+y)/2}cos{(x+y)/2}=2cos{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}
２・・・1-2[sin{(x+y)/2}]^2＝-2sin{(x+y)/2}sin{(x-y)/2}
と2倍角の公式や和積公式で変形してあり、ここまではわかるのですが、
この２式からcos{(x+y)/2}=0が得られる。となっています。ところがその途中の計算方法がわからないのです。
それで最後の答えがx=±2π/3＋2mπ、y=±π/3＋2nπとなっています。
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

debut · ベストアンサー

1 の方の式を移項して因数分解すれば、
cos{(x+y)/2}[sin{(x+y)/2}-sin{(x-y)/2}]=0 なので
cos{(x+y)/2}=0、または sin{(x+y)/2}=sin{(x-y)/2}
（しかし、後者を解いて2 の方に代入すれば成り立つx,yがないことは
わかるでしょう）

※２πあたりまでで。
cos{(x+y)/2}=0 より、(x+y)/2=π/2、3π/2
Ａ．(x+y)/2=π/2のとき、
　　　2 式よりsin{(x-y)/2}=1/2で　(x-y)/2=π/6,5π/6
　　　・(x+y)/2=π/2と(x-y)/2=π/6を連立→x=2π/3,y=π/3
　　　・(x+y)/2=π/2と(x-y)/2=5π/6を連立→x=4π/3,y=-π/3

Ｂ．(x+y)/2=3π/2 のとき、
　　 2 式よりsin{(x-y)/2}=-1/2 で(x-y)/2=7π/6,11π/6
　　　・(x+y)/2=3π/2と(x-y)/2=7π/6を連立→x=8π/3=2π/3+2π,y=π/3
　　　・(x+y)/2=3π/2と(x-y)/2=11π/6を連立→x=10π/3=4π/3+2π,y=-π/3

4π/3は-2π/3とみられるので、これら４つをまとめて一般角で表せば
答えのようになると思います。

お礼

非常に丁寧に回答いただきありがとうございました。
おかげさまで理解できました