三角関数の連立方程式の解き方

質問

「a,bは０＜a＜b＜2πを満たす実数とする。すべての実数ｘについて　cosx+cos(x+a)+cos(x+b)=0　が成立するようなa,bの値を求めよ。」

この問題を解いているのですが、解答が理解できませんでした。

解答「ｘ＝０とすると　１+cosa+cosb＝０、
ｘ＝π/2とすると　sina+sinb＝０
よってa＝2π/3、b=４π/3」

となっていました。必要条件を利用して０とπ/2の場合について考えたということはわかったのですが、その後の計算の方法がわかりませんでした。sinx^2＋cosx^2=1等に代入してみたのですが意味がありませんでした。何らかのヒントやアドバイスでもかまいませんので回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

>sinx^2＋cosx^2=1等に代入してみたのですが意味がありませんでした。

いえ、出来ると思いますよ。

cosa=-1-cosb
cos^2a=1+cos^2b+2cosb・・・・・・(1)

sina+sinb=0
sina=-sinb
sin^2a=sin^2b・・・・・・(2)

(1)+(2)
1=1+1+2cosb
cosb=-1/2

b=2π/3 or 4π/3

aも求めてa<bの条件に照らせばa,bの値が定まります。

第一、
cosx+cos(x+a)+cos(x+b)=0

を加法定理で書き換えると

cosx+cosx・cosa-sinx・sina+cosx・cosb-sinx・sinb
=cosx(1+cosa+cosb)-sinx(sina+sinb)

なので
1+cosa+cosb=0
sina+sinb=0
なら全てのxについて

cosx+cos(x+a)+cos(x+b)=0

が成立しますね。

回答No.3

mister_moonlight

＞必要条件を利用して０とπ/2の場合について考えたということはわかったのですが、その後の計算の方法がわかりませんでした。sinx^2＋cosx^2=1等に代入してみたのですが意味がありませんでした。

１+cosa+cosb＝0　‥‥(1)、sina+sinb＝0‥‥(2)、よってa＝2π/3、b=４π/3　‥‥(3)
(1)と(2)から(3)を求める方法がわからないと言う意味ですか？
もし、そうなら(1)よりcosb＝-(１+cosa)、sinb＝-sinaより、各々を平方して加えると2cosa＝-1となります。
同時に、2cosb＝-1ですから、0＜a＜b＜2πを考慮すると解答のとおりになります。

但し、この方法はＮｏ.1さんが書かれているように、高々xの2つの値に対して成立したものに過ぎませんから、全てのxに対して成立する事を確認する必要があります。
次の解法は、必要条件と十分条件を一挙に解決する方法です。

cosx+cos(x+a)+cos(x+b)＝cosx＋cosxcosa-sinxsina+cosxcosb-sinxsinb＝cosx(1+cosa+cosb)-sinx(sina+sinb)＝0.
これが全てのxに対して成立するためには、1+cosa+cosb
＝0、and、sina+sinb＝0であることが必要十分である。
以下は、同じ方法です。

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。おかげさまで理解できました

回答No.1

postro

必要条件として「a＝2π/3、b=４π/3」が出てきたので、次に十分条件として「a＝2π/3、b=４π/3」がいえるかどうかチェックする。
つまり「a＝2π/3、b=４π/3」ならば「すべての実数ｘについて　cosx+cos(x+a)+cos(x+b)=0　が成立する」かどうか調べる。
そのためには　cosx+cos(x+a)+cos(x+b)=0　に　a＝2π/3、b=４π/3　を代入して、その式がすべての実数ｘについて成り立つか調べる。
ちょっとしつこく書きすぎたかもしれません。