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離散構造論の問題

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お礼率 86% (19/22)

非負の実数と∞から成る集合A 上の代数系(A,△,▽)を次のように定義する
x△y = x+y (xもyも∞でないとき)
     ∞(x=∞またはy=∞のとき)

x▽y = min(x,y) (xもyも∞でないとき)
     x (xが∞でなくy=∞のとき)
     y (x=∞でyが∞でないとき)
     ∞(x=∞ かつy=∞のとき)

問題1 代数系(A,△,▽)の性質を論ぜよ
問題2 代数系(A,△,▽)と他の代数系との間の準同形の例を示せ

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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

回答つかないですねえ。

問題1は、まずそれぞれの演算がA上で閉じているかどうかをチェック。そして、それぞれの演算について単位元の存在、逆元の存在、結合則、交換則、また両方を組み合わせての分配則、吸収則を調べ、何という代数構造なのかを見極める。それから、他にも何か特徴が無いか?と考えてみます。

問題2は、A={非負の実数}∪{∞}で定義されているのを
φ: A→{0,1}
φ(x)= if x=∞ then 1 else 0
という写像をしてみると分かるかな?
お礼コメント
albrex

お礼率 86% (19/22)

回答ありがとうございます。
問題1のほうはおかげさまで何となく(それぞれの演算について可換群とか、可換半群とか言えばいいのかな)わかるんですが、
問題2の方がいまいちわからなくて、
△の演算について準同型写像はlog(∵log(x+y)=logx+logy)
▽の演算について準同型写像は×n(nは非負の実数)
(∵min(x×n,y×n)=(min(x,y))×n)
とか考えてみたんですが、根本的に違うかも・・・。できればもう少しヒントが欲しいです(泣)
投稿日時 - 2002-02-14 23:07:23
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  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

準同型てのは、 ●:X×X→X という二項演算●がX上で定義されているとき、 φ: X→Y という写像と、Y上の二項演算○ ○:Y×Y→Y があって、 ∀x∀y∀z((x∈X ∧ y∈X ∧ z=x●y) → φ(z) = φ(x)○φ(y)) が成り立つ、そういう(X,●)から(Y,○)への対応付けのことです。 この場合、 φ(x)= if x=∞ then 1 else 0 ...続きを読む
準同型てのは、
●:X×X→X
という二項演算●がX上で定義されているとき、
φ: X→Y
という写像と、Y上の二項演算○
○:Y×Y→Y
があって、
∀x∀y∀z((x∈X ∧ y∈X ∧ z=x●y) → φ(z) = φ(x)○φ(y))
が成り立つ、そういう(X,●)から(Y,○)への対応付けのことです。

この場合、
φ(x)= if x=∞ then 1 else 0
として△も▽もそのまま意味を変えないで{0,1}に適用してみると、({0,1},△,▽)がどういう代数系になってるか分かると思うな。△と▽それぞれについて僅か4通りの計算しかないんだから、列挙してみては如何?

勿論、準同型写像はこれに限ったもんじゃないですが。
お礼コメント
albrex

お礼率 86% (19/22)

回答ありがとうございます。

さっそく列挙してみて考えたところ。
(A,△,▽)から(B={0,1},○)の
準同型写像 φ(x)=if x=∞ then 1 else 0 において
(ⅰ) x=5,y=∞ (x,y∋A)の時、
φ(5△∞)=1=φ(5)○φ(∞)
φ(5▽∞)=0=φ(5)○φ(∞)
を満たす○の2項演算が見つかりません。
それとも、"A上の各演算に対応する準同型"(つまり、△に対する準同型、▽に対する準同型という風に2つ求める)という風に見つければよいのでしょうか。

度々の質問申し訳ありません。。
投稿日時 - 2002-02-16 04:30:19

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

準同型がどういう意味か、もう一度復習なさることをお薦めします。 >φ(5△∞)=1=φ(5)○φ(∞) >φ(5▽∞)=0=φ(5)○φ(∞) を両方満たす○をお探しで?そんなの準同型と何の関係ありません。 そして、 > △も▽もそのまま意味を変えないで と申し上げました。 > (A,△,▽)から(B={0,1},○) じゃなくて (A,△,▽)から( ...続きを読む
準同型がどういう意味か、もう一度復習なさることをお薦めします。

>φ(5△∞)=1=φ(5)○φ(∞)
>φ(5▽∞)=0=φ(5)○φ(∞)
を両方満たす○をお探しで?そんなの準同型と何の関係ありません。

そして、
> △も▽もそのまま意味を変えないで
と申し上げました。
> (A,△,▽)から(B={0,1},○)
じゃなくて
(A,△,▽)から(B={0,1},△,▽)
っすよ。
お礼コメント
albrex

お礼率 86% (19/22)

回答ありがとうございます。

これでもいろいろと本を読んで調べてみたのですよね・・・。ただ、どの本も同じ説明しかされてなくて、いまいち実感が湧かなくて・・・。
親切に教えていただきありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-22 13:49:22
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