欠円の面積から弦もしくは弧の長さを求める

質問

表題の件につきまして、皆様のお知恵を拝借致したく質問させて頂きます。

簡単に説明致しますと、欠円の面積と円の半径のみが判っている状態なのですが、ここから弦もしくは弧の長さを求める事は可能なのでしょうか？
各公式を当てはめてみても、弧もしくは弦のどちらかが判っていないと求める事ができないようなのです。
たとえば、弧の長さの公式は、πと弦の両端と中心がなす角度と半径で求めるようになっています。

ご回答宜しくお願い致します。

回答No.7

age_momo · ベストアンサー

求める式があり、具体的に数値があるのならExcelのゴールシーク、
あるいはソルバーで求める事ができます。

とりあえずゴールシークで式を計算する方法を書いておきます。
例として半径10で面積が300の時の中心角を求める式です。

A1に10を入力します。(半径です)
A2に仮に250を入力します。(角度がここに出ます）
A3に

=A1^2*(A2/360*PI()-SIN(A2/180*PI())/2)

を入力します。
『ツール』⇒『ゴールシーク』でBoxが現れます。
数値入力セル　に　A3
目標値に　300
変化させるセル　に　A2
を入力してOKを押すとA2に　289.9002と中心角が出ると思います。
それを元にすると弦や弧が求まると思います。
A4に

=SIN(A2/360*PI())*A1*2

とでも入れておけばいいです。(弦の場合）

また、ソルバーの方が誤差少なく解を求める事が出来ますので、
必要なら参考書等で調べてみてください。

補足

ご回答頂き、有り難うございます。返事が遅くなりまして、申し訳ありませんでした。
ご提案頂いた方法が最も解答間違いがなさそうですね。
一度試してみます。

回答No.8

debut

No3です。
　液の充填率は、攪拌用シャフトの部分を除いて考えるのですよね。

　同心円の中心をＯ，液面が作る弦をＡＢ、∠ＡＯＢ＝２θ (度)、
　数字を入れると面倒なので、容器の半径をａ、シャフトの半径をｂ
　とします。
・充填率100％のとき・・断面積は　π(ａ^2－ｂ^2)
・充填率○○％で、∠ＡＯＢ＝２θになったとき
　　断面積は、△ＡＯＢの底辺はＡＢ＝２ａsinθ、高さは ａcosθである
　　ことと、△ＡＯＢ以外の扇形の中心角が360-２θであることから、
　　πａ^2×(360-2θ)/360+2ａ^2sinθcosθ×(1/2)-πｂ^2
　　＝πａ^2(1-θ/180)+(ａ^2sin2θ)/2-πｂ^2
　　＝πａ^2-πａ^2θ/180+(ａ^2sin2θ)/2-πｂ^2
　　＝π(ａ^2-ｂ^2)-(ａ^2/2)(πθ/90-sin2θ)

　すると、この２番目の項　(ａ^2/2)(πθ/90-sin2θ)　が充填率100％の
　ときから減った分の面積（例えば充填率80％なら20％のぶん）を示す
　ことになります。（結局は大円の欠けた部分の面積のことですが・・）

　で、この式　(ａ^2/2)(πθ/90-sin2θ)＝充填率(100-x)％の面積　
　として解いてθの値を求めれば、弦ＡＢ＝２ａsin2θ に代入して
　できあがり、ですが・・・、上の方程式は簡単に解けません。

　実用的じゃなくなってしまいますが、逆にθを指定してから充填率を
　求めて、そのとき弦は・・mmとやるのはどうでしょうか？
　例えばθ＝65°のとき、(743^2/2)×(13π/18-sin130)≒414832.69(mm^2)
　π(ａ^2-ｂ^2)≒1531630.091(mm^2)だから、
　424832.69÷1531630.091≒0.2774→27.26％→充填率73.74％
　ただ、この場合、角度が少し違うだけで充填率も大きく変化するので
　細かく角度をとらなければなりませんが・・
　また、充填率65％付近で、水面がシャフトに接する状態になるような
　ので、それ以下ではまた別の計算も必要かと思います。

　長くなってしまいましたが、以上参考までに。

補足

ご回答頂き、有り難うございます。返事が遅くなってしまい、申し訳ありません。
ご指摘のように、角度を先に指定して計算したほうが楽だとは思っていたのですが、解法があるならば…、と思い、質問させて頂いた次第です。
他の方法で、エクセルを使ったやり方が紹介されていましたので、その方法で駄目な場合には角度から求めてみようと思います。

回答No.6

take008

要するに
θ－sinθ＝2Ｓ/ｒ^2
を満たすθを求められるか，ということになります。
これを
θ＝何々
と表すことはできません。

こういう方程式の数値解を求めるソフトを使うか，プログラムを作ってしまえば簡単ですが，それができる環境ならばしているはずですね。

それでは電卓と手を使って求めるしかないですね。
α゜（0゜～360゜，１゜きざみとか５゜きざみとか）について，
α゜，θラジアン，θ－sinα゜
の数値を電卓で計算するか，三角比の表を参考に計算して，この３つの値を並べた表を作ります。
θ＝α×π/180 です。

2Ｓ/ｒ^2 に最も近い値を表から探して，αがわかります。

もちろん大体の角度がわかっていれば，その付近のαについてだけ表を作れば十分です。

補足

ご回答頂き、有り難うございます。返事が遅くなりまして申し訳ありませんでした。
エクセルは使える環境ではありますので、参考にさせて頂きます。

回答No.5

redowl

＃２です。
補足の＞円筒の容器で直径がφ1486で中に撹拌用のシャフトが通っており、その直径がφ508

図が無いので、推量ですが
多分、この二つは同心円であると考えて解く問題ですね。

撹拌用のシャフトに接する接線の長さを求めたい。　ということなのかな
ならば、ピタゴラスの定理（三平方の定理）で求めれば良いのでは？
数値の単位はミリメートル
斜辺が1486/2=743, 高さが508/2=254,求める接線（弦）をa　とすれば
(a/2)^2+ 254^2=743^2
で、aを求める・・・・答は、自力で

補足

ご回答頂き、有り難うございます。
ご指摘の撹拌用のシャフトに接する…、ではなく、円筒形の容器を横倒しにして、液体を満たしていったとき、円形に見える側面から見た液面の線（弦）の長さを求めたいのです。
御手数ですが、引き続き宜しくお願い致します。

回答No.4

char2nd

半径から欠円の面積を求める公式は、

Ａ＝Ｒ^2×（πθ/360－1/2×sinθ)

　従って、この公式に既知の面積と半径を当てはめれば中心角θが求められますから、それで孤および弦の長さも割り出せます。

　欠円の面積を求める公式については、下記ＵＲＬにある私のコメントを見てください。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1981861

補足

早速のご回答有り難うございます。
恥ずかしながら、私の頭脳では展開できそうもありません。
公式を習っていたのはもうずいぶんと昔の事で、すっかり忘れてしまってます。

もしよろしければ、展開の方法などをご教示頂けませんでしょうか？
御手数をお掛けしまして大変申し訳ございません。引き続き宜しくお願い致します。

回答No.3

debut

切り取った直線と円との交点をＡ，Ｂとし、円の中心をＯ　半径をｒとす
ると、この図形は△ＡＯＢと、中心角θ(これは180°より大きい)の扇形を
合わせたものです。
△ＡＯＢの面積
　　＝(1/2)×ＡＢ×高さ
　　＝(1/2)×２ｒsin{180-(θ/2)}×ｒcos{180-(θ/2)}
　　＝－ｒ^2sin(θ/2)cos(θ/2)
　　＝－(ｒ^2/2)sinθ
扇形の面積
　　＝πｒ^2×(θ/360)
よって、全体の面積＝(ｒ^2/2)(πθ/180－sinθ)　となるので、この方程式
を解いてθを求めればよいわけですが、簡単ではないような・・・

具体的に、その面積の数値はどうなのでしょうか？

補足

ご回答頂き有り難うございます。
具体的な数値についてなのですが、円筒の容器で直径がφ1486で中に撹拌用のシャフトが通っており、その直径がφ508となっています。この容器に流体を満たして充填率がいくらの時に断面積がいくら、接触面積がいくら、という計算をしていたのですが、容積を求めて断面積がいくらというところまではできたのですが、接触面積のところでつまずいていた物です。
また、お知恵を拝借頂ければありがたいです。

回答No.2

redowl

下記URLの弓形　公式
弓形面積と半径がわかっているのだから

面積A=(1/2)×r^2×（２θーsin２θ)
を使ってθを算出

θが求まれば、　弓形の　弧の長さ、弦の長さは出せます。

参考URL：

http://www4.ocn.ne.jp/~katonet/kagaku/kousiki/menseki.htm

補足

ご回答頂きまして有り難うございます。
残念ながら、私には解けそうには無い公式です。

もしよろしければ、解のヒントを頂ければありがたいです。
御手数ですが、宜しくお願い致します。

回答No.1

X-trail_00

欠円ってパックマンみたいな形？ですよね

その面積が判る。 =S
半径も判る =r
＝それが円だった場合の面積も判る =πr^2
＝欠円の欠け割合もわかりますよね（面積の比率で）=S/πr^2
円周は2πr なので
弧の長さは　2πr * (S/πr^2)

で良くないの？

お礼

ご回答有り難うございます。
私がイメージしている欠円は、円を直線で切り取った形状を考えております。
つまり、扇型の直線部分と円との交点の２箇所を直線で結んだ形状なのです。
わかりにくい説明で申し訳ありません。
ご回答頂いた方法で上記の形状も計算できますでしょうか？

補足

すみません。お礼のほうに書き込んでしまいましたが、ご回答頂いた形状はおそらく円分を想定されているのでは無いかと思われます。
円の一部を１本の直線で切断した形状と言った方がわかりやすいかもしれません。

引き続きご回答お待ちしております。